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Exemples de calcul de dérivée

< dérivée

La dérivée est une fonction mathématique, plus précisément une fonction de fonctions car elle prend comme argument d’entrée une fonction et renvoie une autre fonction, généralement différente.

Sommaire

1 Exemples à partir de la définition du nombre dérivé

1.1 Fonction constante
1.2 Fonction affine
1.3 Fonction carré
1.4 Fonction racine

Exemples à partir de la définition du nombre dérivé

Fonction constante

Soit c un réel.

Considérons la fonction constante f de valeur c :

$\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R^*}, \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{c-c}{h} = 0$

donc

$\forall x\in\mathbb{R}, f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$ .

Ainsi la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.

Fonction affine

Soient a et b deux réels. Considérons la fonction affine f définie sur ℝ par

$\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=ax+b$ .

Nous savons que sa représentation graphique est une droite.

$\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R^*},\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}=\frac{ah}{h}=a$

donc

$\forall x \in\mathbb{R}, f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}a=a$

Donc la dérivée de f en tout point est égale à la pente de la droite d'équation y=a x+b correspondant à la représentation graphique de f.

Fonction carré

Considérons la fonction f définie sur ℝ par

$\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=x^2$

$\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R}^*,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

$=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

donc

$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h)=2x$

la dérivée de f est donc la fonction f' définie par

$\forall x\in\mathbb{R}, f'(x)=2x$ .

Fonction racine

Considérons la fonction f=√

$\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \forall h\in\mathbb{R}^*,h>-x, \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

$=\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}=\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$= \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

donc

$\forall x\in\mathbb{R}_+^*, f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}= \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

D'autre part,

$\forall h\in\mathbb{R}_+^*, \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\infty$

donc f n'est pas dérivable en 0 et la courbe représentative admet en 0 une demi tangente verticale.

Catégories: Analyse

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