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Fonction diviseur

En mathématiques, la fonction diviseur σ_a(n) est définie comme la somme des a-ièmes puissances des diviseurs de n, où

$\sigma_{a}(n)=\sum_{d|n} d^a\,\!$

La notation d(n) est aussi utilisée pour noter σ₀(n), ou le nombre de diviseurs de n. La fonction sigma σ(n) est

$\sigma_{1}(n)=\sum d$ .

Par exemple si p est un nombre premier,

$\sigma (p)=p+1\,\!$

car, par définition, les facteurs d'un nombre premiers sont 1 et lui-même.

Généralement, la fonction diviseur est multiplicative, mais n'est pas complètement multiplicative.

La conséquence de ceci, si nous écrivons

$n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha_{i}}$

alors nous avons

$\sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{\alpha_{i}+1}-1}{p_{i}-1}$

Nous notons aussi

$s(n) = \sigma(n) - n\,\!$ .

Cette fonction est utilisée pour reconnaître les nombres parfaits qui ont, pour n

$s(n) = n\,\!$ .

Par exemple, pour deux nombres premiers distincts p et q, soit

$n = pq\,\!$

Alors

$\phi(n) = (p-1)(q-1) = n + 1 - (p+q)\,\!$

$\sigma(n) = (p+1)(q+1) = n + 1 + (p+q)\,\!$

Deux séries de Dirichlet impliquant la fonction diviseur sont :

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}$

Voir aussi