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Fonction hyperbolique

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :

sinus hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$

cosinus hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$

tangente hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

cotangente hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\mathrm{cotanh}(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$

sécante hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\mathrm{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}$

cosécante hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb{R}^*,$

$\mathrm{cosech}(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$

De même que les points (cos x, sin x) décrivent un cercle lorsque x parcourt $\mathbb R$ , les points (cosh x, sinh x) décrivent une branche d'hyperbole parce qu'on a la formule :

$(\cosh(x))^{2} - (\sinh(x))^{2} = 1 \,$

Le paramètre x ne peut plus être interprété comme un angle, et les fonctions hyperboliques ne sont pas des fonctions périodiques.

La fonction cosh est à valeurs positives, paire et vérifie cosh(0) = 1.

La fonction sinh est impaire et ainsi sinh(0) = 0.

Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations, très ressemblantes aux identités trigonométriques. En fait, la règle d'Osborne dit que l'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique en une identité hyperbolique en la développant complètement à l'aide de puissances entières de sinus et cosinus, changeant sin en sinh et cos en cosh, et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé.

Cela nous permet d'obtenir par exemple, les relations pour les sommes :

$sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)\,\!$

$cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)\,\!$

et des «formules d'angle moitié» :

$cosh(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + cosh(x)}{2}}\,\!$

$sinh(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{cosh(x)-1}{2}}\,\!$

La dérivée de sinh est égale à cosh et la dérivée de cosh est égale à sinh.

La fonction cosh est convexe.

Puisque la fonction exponentielle peut-être définie sur l'ensemble des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l'ensemble des nombres complexes.
Les fonctions sh et ch sont alors holomorphes.

Catégories: Trigonométrie

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