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Fonction multiplicative

En théorie des nombres, une fonction faiblement multiplicative ou s'il n'y a aucune confusion possible une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f définie sur l'ensemble des entiers naturels non nuls et vérifiant les propriétés

f(1)=1 et pour tous a et b premiers entre eux, f (a.b) = f(a).f (b).

Une fonction arithmétique f est complètement multiplicative si

f(1)=1 et pour tous a et b quelconques f(a.b)=f(a).f(b).

Dans cette seconde définition a et b ne sont pas supposés premiers entre eux. Par défaut en théorie des nombres les fonctions multiplicatives sont en fait faiblement multiplicatives. En dehors de cette théorie les fonctions sont habituellement des fonctions vérifiant la propriété

pour tous a et b quelconques, f(a.b)=f(a).f(b).

Cet article ne considère que des fonctions multiplicatives de la théorie des nombres.

Exemples

Beaucoup de fonctions multiplicatives données ici comme exemple sont empruntées à la théorie des nombres.

φ : la fonction φ d'Euler, qui compte les entiers naturels premiers avec un entier naturel n donné et inférieurs à cet entier naturel,
μ : la fonction de Möbius, relative au nombre de facteurs premiers des entiers sans carré,
n↦pgcd(n,m) : qui à l'entier n associe le plus grand commun diviseur des entiers m et n, m étant fixé,
d : qui associe à un entier naturel n, le nombre de diviseurs positifs de n,
σ : qui associe à un entier n la somme de tous les diviseurs positifs de n,
σ_k : qui associe à un entier n, la somme des puissances k-ièmes de tous les diviseurs positifs de n (où k peut être un nombre complexe quelconque). Dans les cas particuliers suivants nous avons
- σ₀(n) = d(n) et
- σ₁(n) = σ(n),
1 : la fonction constante, définie par $\forall n\in\mathbb{N}^*, 1(n) = 1$ (complètement multiplicative)
Id : la fonction identique, définie par $\forall n\in\mathbb{N}^*, \operatorname{Id}(n) = n$ (complètement multiplicative)
Id_k : la fonction puissance, définie par $\forall n\in\mathbb{N}^*, \operatorname{Id}_k(n) = n^k$ , où k est un entier naturel (ou éventuellement un nombre complexe) (complètement multiplicative). Nous avons les cas particuliers suivants
- Id₀(n) = 1(n) et
- Id₁(n) = Id(n),
ε : la fonction définie par, ε(1) = 1 et pour tout entier naturel n>1, ε(n)= 0, parfois appelée élément neutre pour le produit de convolution de Dirichlet (complètement multiplicative).
$n\mapsto\left(\frac{n}{p}\right)$ , l'application qui associe à un entier naturel n, le symbole de Legendre de n et p, où p est un nombre premier fixé (complètement multiplicative),
λ : la fonction de Liouville, relative au nombre de facteurs premiers divisant un entier naturel n (complètement multiplicative).
γ : définie par $\forall n\in\mathbb{N}^*, \gamma(n)=(-1)^{\omega(n)}$ , où la fonction additive ω associe à un entier naturel n le nombre de nombres premiers distincts divisant n,
Tous les caractères de Dirichlet sont des fonctions complètement multiplicatives.

Un exemple d'une fonction non multiplicative est la fonction arithmétique r₂ qui à un entier n, associe le nombre de décompositions de n sous la forme d'une somme de deux carrés de nombres entiers positifs, négatifs ou nuls, en tenant compte de l'ordre dans les écritures. Par exemple

1 = 1² + 0² = (-1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (-1)²

et donc r₂(1)=4≠1. Ceci prouve que la fonction n'est pas multiplicative. Cependant, $\frac{r_2}{4}$ est multiplicative.

Voyez l'article fonction arithmétique pour avoir quelques autres exemples de fonctions non multiplicatives.

Propriétés

Une fonction multiplicative est complètement déterminée par ses valeurs en les puissances de nombres premiers, une conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique. Ainsi, si n est un produit de puissances de nombres premiers distincts, n = p^a q^b ..., alors f(n) = f(p^a) f(q^b) ...

Cette propriété des fonctions multiplicatives réduit de manière significative les calculs, comme dans les exemples suivants pour n = 144 = 2⁴ · 3²:

d(144) = ₀(144) = ₀(2⁴)₀(3²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

(144) = ₁(144) = ₁(2⁴)₁(3²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403,

^*(144) = ^*(2⁴)^*(3²) = (1¹ + 16¹)(1¹ + 9¹) = 17 · 10 = 170.

De même, nous avons

(144)=(2⁴)(3²) = 8 · 6 = 48

En général, si f est une fonction multiplicative et si a, b sont deux nombres entiers naturels non nuls quelconques, alors

f(a) · f(b) = f(pgcd(a,b)) · f(ppcm(a,b)).

(pgcd est le plus grand commun diviseur et ppcm est le plus petit commun multiple des entiers)

Toute fonction complètement multiplicative est un homomorphisme de monoïde et est complètement déterminée par sa restriction à l'ensemble des nombres premiers.

Convolution

Si f et g sont deux fonctions multiplicatives, on définit une nouvelle fonction multiplicative f * g, appelée convolution de Dirichlet de f et g, par

$\forall n\in\mathbb{N}^*\quad (f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$

la somme portant sur tous les diviseurs positifs d de n.

Avec cette opération, l'ensemble de toutes les fonctions multiplicatives se transforme en groupe abélien; l'élément neutre est µ.

Les relations les plus importantes vérifiées par les fonctions multiplicatives listées ci-dessus sont :

= * 1 (la formule d'inversion de Möbius)
= * Id
d = 1 * 1
= Id * 1 = * d
_k = Id_k * 1
Id = * 1 = *
Id_k = _k *

La convolution de Dirichlet peut être définie pour des fonctions arithmétiques générales, et leur confère une structure d'anneau, l'anneau de Dirichlet.

Voyez également le produit d'Euler.

Catégories: Théorie des nombres

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