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Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point d'action.
Ce type de force possède deux propriétés remarquables :
| Sommaire |
Considérons un solide se déplaçant d'un point A vers un point B, et sur lequel s'exerce une force 
conservative, alors le travail produit par cette force ne dépend
pas du chemin suivi par le solide. Ainsi pour deux trajectoires C1 et C2 reliant le point
A au point B, la force fournit le même travail :
Une conséquence immédiate de cette propriété est que dans le cas d'une trajectoire fermée (si le solide retourne à sa position initiale), le travail d'une force conservative est nul.
Considérons maintenant une force conservative fonction de la position de son point d'application, c'est-à-dire telle que
soit une fonction des coordonnées x,
y et z alors, en vertu de l'indépendance du chemin suivi, quelle que soit la trajectoire fermée C, le
travail de la force est nul :
dont on déduit d'après le théorème de Stokes que . Cette dernière relation implique l'existence d'un champ scalaire U(x,y,z) tel que :
Le champ U est appelé potentiel de la force et est homogène à une énergie. Notons que, de par sa définition, le champ U est défini à une constante près. La valeur de cette dernière est généralement arbitraire, auquel cas elle est choisie de façon à simplifier les calculs.
Des exemples de champs sont donnés dans l'article sur le potentiel.
Réciproquement, considérons une force
dérivant d'un potentiel U :
En remarquant que est une différentielle totale, on trouve que le travail de la force prend l'expression suivante :
Le travail ne dépend donc que de la valeur du potentiel aux points A et B. Le travail d'une force dérivant d'un potentiel ne dépend donc pas du chemin suivi, une telle force est donc conservative.
Les forces conservatives sont appelées ainsi parce l'énergie mécanique d'un système soumis à l'action de forces conservatives est constante : l'énergie du système se conserve.
En effet, d'après la deuxième loi de Newton, un système de masse m constante obéit à la relation suivante :
où est l'accélération du centre de gravité.
Durant une durée dt infiniment petite, le déplacement du centre de gravité du solide est où est la vitesse du solide. La deuxième loi de Newton permet de calculer le travail de la force pendant la durée dt :
Si le solide parcours un chemin d'un point A à un point B, alors le travail total s'obtient en faisant une intégrale le long du chemin :
étant une force conservative, il existe un
potentiel U tel que .
Et sachant que et sont des différentielles totales,
l'expression se simplifie et devient :
On reconnaît l'énergie cinétique du système dans le terme de droite de l'équation, d'où la relation :
On voit donc que la somme de l'énergie cinétique et du potentiel se conserve. Cette somme est appelée énergie mécanique du système. L'expression ci-dessus montre clairement que l'énergie totale se répartit entre l'énergie cinétique et le potentiel, et peut donc passer successivement de l'un à l'autre. C'est pourquoi le potentiel U est aussi appelé énergie potentielle : c'est de l'énergie qui peut potentiellement se transformer en énergie cinétique.
