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Forme quadratique

En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions est trouvée en prenant la racine carrée d'une forme quadratique impliquant six variables, les trois coordonnées de chacun des deux points.

Les formes quadratique de une, deux, et trois variables sont données par :

$F(x) = ax^2\,$

$F(x,y) = ax^2 + by^2 + 2cxy\,$

$F(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz\,$

Forme quadratique sur un espace vectoriel

Soit V un espace vectoriel V sur un corps F. Pour l'instant, nous supposons que F possède une caractéristique différente de 2. Ceci est vrai, en particulier, pour les corps réels et complexes qui sont de caractéristique 0. Le cas car(F) = 2 est quelque chose d'exceptionnel, et sera traité séparément.

Une application Q : $V \rightarrow F$ est appelée une forme quadratique sur V s'il existe une forme bilinéaire symétrique B : $V \times V \rightarrow F$ telle que

$Q(u) = B(u,u)\,$ $\forall u \in V\,$

B est appelée la forme bilinéaire associée. Notons que pour tout vecteur $u,v \in V\,$

$Q(u + v) = Q(u) + 2B(u,v) + Q(v)\,$

donc nous pouvons retrouver la forme bilinéaire B à partir de Q :

$B(u,v) = \frac{1}{2}\left(Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\right)$

Ceci est une exemple de polarisation d'une forme algébrique. Il existe alors une correspondance bijective entre les formes quadratiques sur V et les formes symétriques bilinéaires sur V. A partir d'une forme donnée, nous pouvons définir de manière unique l'autre forme.

Si V est de dimension n, nous pouvons écrire la forme bilinéaire B comme une matrice symétrique B relative à une certaine base $\{e_i\}\,$ pour V. Les composants de B sont donnés par $B_{ij} = B(e_i,e_j)\,$ . La forme quadratique Q est donnée par

$Q(u) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j$

où $u^i\,$ sont les composants de u dans cette base. Notons que Q(u) est un polynôme homogène de degré deux en coordonnées de u et donc, en accord avec notre définition de départ.

Quelques autres propriétés des formes quadratiques :

$Q(au) = a^2 Q(u)\,$ $\forall a \in F$ et $u \in V$
Q obéit à la loi du parallélogramme :

$Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)\,$

Les vecteurs u et v sont orthogonaux avec le respect de B ssi

$Q(u+v) = Q(u) + Q(v)\,$

Caractéristique deux

La théorie des formes quadratiques de caractéristique deux possède une petite saveur différente, essentiellement parceque la division par 2 n'est pas possible. Il n'est plus vrai non plus que chaque forme quadratique est de la forme Q(u) = B(u,u) pour une forme bilinéaire quadratique B. En outre, même si B existe, elle n'est pas unique : puisque les formes alternatives sont aussi symétriques en caractéristique deux, on peut ajouter toute forme alternative à B et obtenir la même forme quadratique.

Une définition plus générale d'une forme quadratique qui marche pour toute caractéristique est la suivante. Une forme quadratique d'un espace vectoriel V sur un corps F est comme une application Q : $V \rightarrow F$ telle que

$Q(au) = a^2 Q(u)\,$ $\forall a \in F$ et $u \in V$ , et
$Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\,$ est une forme bilinéaire sur V.

Généralisations

On peut généraliser la notion de forme quadratique à des modules sur un anneau commutatif. Les formes quadratiques intégrales sont importantes en théorie des nombres et topologie.

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