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Formule du binôme de Newton

En mathématiques, la formule du binôme de Newton ou plus simplement la formule du binôme est une relation importante donnant le développement de la puissance entière d'une somme de deux nombres. Nous avons pour tous nombres réels ou complexes x et y, et pour tout entier naturel n,

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^k. y^{n-k}$

où les nombres $C_n^k$ sont les coefficients binomiaux.

En échangeant x et y, nous pouvons aussi l'écrire :

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k}. y^k$

Cette somme fait intervenir les coefficients binomiaux apparaissant sur une ligne du triangle de Pascal.

Par exemple, voici les cas n = 2, n = 3 et n = 4

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,$

La formule du binôme reste valable pour des éléments x et y d'un anneau qui commutent, c'est-à-dire tels que xy = yx.

Isaac Newton a généralisé la formule à d'autres exposants en considérant une série infinie. La formule obtenue s'appelle le binôme généralisé.

Voyez également

Catégories: Analyse combinatoire

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