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Fraction continuée

En mathématiques, une fraction continuée est une expression telle que

$x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\,\cdots}}}$

où a₀ est un entier et tous les autres nombres a_n sont des entiers positifs. Les expressions plus longues sont définie de manière analogue. Si d'autres numérateurs que 1 sont autorisés, l'expression résultante est une fraction continuée généralisée.

Sommaire

1 Conflit de traduction

2 Motivation

3 Calculs des représentations en fraction continuée

4 Notations pour les fractions continuées

5 Fractions continuées finies

6 Fractions continuées infinies

7 Quelques théorèmes très utiles

8 Le développement en fraction continuée de π

9 D'autres développements en fraction continuée

10 Voir aussi

Conflit de traduction

Extrait de Abrégé d'histoire des mathématiques de Jean Dieudonné : Le terme traditionnel en français est « fraction continue », ce qui risque d'entraîner des confusions fâcheuses lorsque la fraction dépend d'un paramêtre variable ; l'anglais évite cette confusion en disant « continued » et non « continuous ».

Dans ce qui suit, nous adopterons ce point de vue.

Motivation

Les fractions continuées sont motivées par le désir d'avoir une représentation « mathématiquement pure » pour les nombres réels. La représentation la plus connue est, bien sûr, le développement décimal. Dans cette représentation, le nombre π, par exemple, est représenté par la suite d'entiers {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}. Formellement, nous disons que la suite des entiers {a_i} représentent le nombre réel r si

$r = \sum_{i=0}^\infty a_i 10^{-i}$

et chaque a_i (excepté éventuellement a₀, qui peut être n'importe quel entier) est un élément de {0, 1, 2, ..., 9}.

Cette représentation est un peu problématique, néanmoins. Un des problèmes est l'apparition de la constante arbitraire 10 dans la formule ci-dessus. Pourquoi 10 ? Ceci à cause d'un accident biologique, sans lien avec les mathématiques. Un autre problème est que beaucoup de nombres simples manquent de représentations finies dans ce système. Par exemple, le nombre 1/3 est représenté par la suite infinie {0, 3, 3, 3, 3, ....}.

La notation en fraction continuée est une représentation pour les nombres réels qui évite ces deux problèmes. Considérons comment nous pourrions décrire un nombre comme 415/93, qui est arrondi à 4,4624. Ceci est approximativement 4. En réalité, il est légèrement plus grand que 4, environ 4 + 1/2. Mais le 2 du dénominateur n'est pas correct ; le dénominateur est légèrement plus que 2, environ 2 + 1/6, donc 415/93 est approximativement 4 + 1/(2 + 1/6). Mais le 6 du dénominateur n'est pas correct ; le dénominateur correct est légèrement plus que 6, en réalité 6+1/7. Donc 415/93 est en réalité 4+1/(2+1/(6+1/7)). Ceci est exact.

En rabaissant les parties répétées de l'expression 4+1/(2+1/(6+1/7)), nous obtenons la notation abrégée [4; 2, 6, 7].

La représentation en fraction continuée des nombres réels peut être définie de cette manière. Elle possède les propriétés désirées :

La représentation en fraction continuée pour un nombre est finie si et seulement si le nombre est rationnel.
Les représentations en fractions continuées pour les nombres rationnels "simples" sont courtes.
La représentation en fraction continuée pour un nombre irrationnel est unique.
La représentation en fraction continuée d'un nombre rationnel est presque unique : il existe exactement deux représentations pour chaque nombre rationnel, qui sont exactement les mêmes exceptée celle qui finit avec ...a, 1] et l'autre qui finit avec ...a+1].
En tronquant en amont la représentation en fraction continuée d'un nombre x, nous obtenons une approximation rationnelle pour x qui est dans un certain sens l'approximation rationnelle la "meilleure possible" (voir le théorème 5, corollaire 1 ci-dessous pour une expression formelle).

La dernière propriété est extrèmement importante, et n'est pas vraie pour la représentation décimale conventionnelle. Tronquer la représentation décimale d'un nombre donnera une approximation rationnelle de ce nombre, mais généralement pas une très bonne approximation. Par exemple, tronquer 1/7 = 0,142857... à divers endroits donnera des approximations telles que 142/1000, 14/100, et 1/10. Mais, la meilleure approximation rationnelle est "1/7" lui-même. Tronquer la représentation décimale de π donnera des approximations telles que 31415/10000 et 314/100. La représentation en fraction continuée de π commence par [3; 7, 15, 1, 292, ...]. Tronquer cette représentation donne les excellentes représentations rationnelles 3, 22/7, 333/106, 355/113, ... Les dénominateurs de 314/100 et 333/106 sont presque les mêmes, mais l'erreur dans l'approximation 314/100 est dix-neuf fois plus grande que l'erreur dans dans 333/106. Une approximation de π telle que [3; 7, 15, 1] est précise à un millionnième.

Calculs des représentations en fraction continuée

Considérons un nombre réel r compris entre 0 et 1. Soit i la partie entière et f la partie fractionnaire de 1/r. Alors la représentation en fraction continuée de r est [0; i, ...], où "..." est la représentation en fraction continuée de f, qui est aussi comprise entre 0 et 1.

Si r n'est pas compris entre 0 et 1, alors il est de la forme i + f, où i est un entier et f est compris entre 0 et 1 ; alors r est représenté par [i; ...].

Pour calculer une représentation en fraction continuée d'un nombre r, enlever la partie entière de r. Soustraire cette partie entière de r. Si la différence est 0, la procédure ; autrement trouver l'inverse de la différence et répéter. L'algorithme s'arrêtera si et seulement si r est rationnel.

Notations pour les fractions continuées

On peut abréger une fraction continuée comme cela

$x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;$

ou dans la notation de Pringsheim

$x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3}$

ou une autre notation utilisée plus rarement, similaire à celle ci-dessus

$x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +}$

On peut aussi définir les fractions continuées infinies comme des limites :

$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}]$

Cette limite existe pour n'importe quel choix d'entiers positifs a₁, a₂, a₃ ...

Fractions continuées finies

Pour les fractions continuées finies, notons que

$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n} + 1] \;$

Donc, pour chaque fraction continuée finie, il existe une autre fraction continuée finie qui représente le même nombre, par exemple

$[2; 3, 1] = [2; 4] = 9/4 = 2,25 \;$

Chaque fraction continuée finie est un rationnel, et chaque nombre rationnel peut être représenté en précisément deux manières différentes sous forme de fraction continuée finie (dans une représentation le terme final dans la fraction continuée est 1 ; dans l'autre, plus courte, le terme final est plus grand que 1).

Fractions continuées infinies

Chaque fraction continuée infinie est irrationnel, et chaque nombre irrationnel peut être représenté en précisément une seule manière sous forme d'une fraction continuée infinie en précisément une manière sous forme de fraction continuée infinie.

Une représentation en fraction continuée infinie pour les nombres irrationnels est très utile principalement parceque les parties initiales fournissent d'excellentes approximations rationnelles du nombre. Ces nombres rationnels sont appelés les 'réduites de la fraction continuée. Les réduites paires sont plus petites que le nombre original, tandis que les réduites impaires sont plus grandes.

Pour une fraction continuée $[a_0;a_1,a_2,\ldots]$ , les trois premières réduites sont

$\frac{a_0}{1},\qquad \frac{a_0a_1+1}{a_1},\qquad \frac{ a_2(a_0a_1+1)+a_0}{a_2a_1+1},\qquad \frac{a_3(a_2(a_0a_1+1)+a_0)+(a_0a_1+1)}{a_3(a_2a_1+1)+a_1}$

De façon plus littéraire, le numérateur de la troisième réduite est formé en multipliant le numérateur de la deuxième réduite par le troisième quotient, et en additionnant le numérateur de la première réduite. Les dénominateurs sont formés de manière similaire.

Si les réduites successives sont trouvées, avec les numérateurs $p_1,p_2,\ldots$ et les dénominateurs $q_1,q_2,\ldots$ alors la relation récursive applicable est :

$p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2},\qquad q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}.$

Les réduites successives sont données par la formule

$\frac{p_n}{q_n}= \frac{a_np_{n-1}+p_{n-2}}{a_nq_{n-1}+q_{n-2}}.$

Quelques théorèmes très utiles

Si a₀, a₁, a₂, ... est une suite infinie d'entiers positifs, définissons les suites et récursivement :

$h_{-2}=0,\ h_{-1}=1,\ h_{i}=a_ih_{i-1}+h_{i-2}$

$k_{-2}=1,\ k_{-1}=0,\ k_{i}=a_ik_{i-1}+k_{i-2}$

Théorème 1

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ positif

$\left[a_0, a_1, \,\dots, a_{n-1}, x \right]= \frac{x h_{n-1}+h_{n-2}} {x k_{n-1}+k_{n-2}}$

Théorème 2

Les réduites de [a₀, a₁, a₂, ...] sont données par

$\left[a_0, a_1, \,\dots, a_n\right]=\frac{h_n} {k_n}$

Théorème 3

Si la nième réduite d'une fraction continuée est $h_n/k_n\,\!$ , alors

$k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1)^n\,\!$

Corollaire 1 : Chaque réduite est en plus petits termes (pour si $h_n\,\!$ et $k_n\,\!$ ont un diviseur commun il serait divisible par $h_nq_{n-1}-q_nh_{n-1}\,\!$ , ce qui est impossible).

Corollaire 2 : La différence entre des réduites successives est une fraction dont le numérateur est l'unité :

$\left|\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} \right|= \left|\frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}\right|= \frac{1}{k_nk_{n-1}}$

Théorème 4

Chaque réduite est plus proche de la nième réduite que n'importe quelles réduites précédentes. En symboles, si la rième réduite est considérée par $[a_a;a_1,a_2,\ldots a_n]=x$ , alors

$\left|[a_a;a_1,a_2,\ldots a_r]-x\right|>\left|[a_a;a_1,a_2,\ldots a_s]-x\right|$

pour tout .

Corollaire 1 : la suite des réduites impaires est croissante, mais elles sont toujours inférieures à

Corollaire 2 : la suite des réduites paires est décroissante, mais elles sont toujours supérieures à .

Théorème 5

$\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n)}< \left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|< \frac{1}{k_nk_{n+1}}$

Corollaire 1 : n'importe quelle réduite est plus proche de la fraction continuée que n'importe quelle fraction dont le dénominateur est inférieur à celui de la réduite

Corollaire 2 : n'importe quelle réduite qui précède immédiatement un grand quotient est une approximation proche de la fraction continuée.

Le développement en fraction continuée de π

Par exemple, pour calculer les réduites de pi, nous fixons a₀ = [π] = 3 (où [x] indique le plus grand entier ≤ x), définissons u₁ = 1/(π - 3) ≈ 113/16 = 7,0625 et a₁ = [u₁] = 7, u₂ = 1/(u₁ - 7) ≈ 31993/2000 = 15,9965 et a₂ = [u₂] = 15, u₃ = 1/(u₂ - 15) ≈ 1003/1000 = 1,003. En continuant comme cela, on peut déterminer la fraction continuée infinie de π : [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. La troisième réduite de π est [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,14159292035... qui est raisonnablement proche de la vraie valeur de π.

Nous supposons que les réduites trouvées sont, comme ci-dessus, [3; 7, 15, 1]. Ce qui suit est une règle par laquelle nous pouvons écrire les fractions convergentes qui résultent de ces quotients sans développer la fraction continuée.

Le premier quotient, supposé divisé par l'unité, donnera la première fraction, qui sera trop petite, c'est à dire, 3/1. Alors, en multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le deuxième quotient et en additionnant l'unité avec le numérateur, nous aurons la deuxième fraction, 22/7, qui sera trop grande. En multipliant de la même manière le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le troisième quotient, et en ajoutant au numérateur le numérateur de la fraction précédente, et au dénominateur, le dénominateur de la fraction précédente, nous aurons la troisième fraction, qui sera trop petite. Ainsi, le troisième quotient est 15, nous avons pour notre numérateur (22 · 15 = 330) + 3 = 333, et pour notre dénominateur, (7 · 15 = 105) + 1 = 106. La troisième réduite, par conséquent, est 333/106. Nous procédons de la même manière pour la quatrième réduite. La quatrième réduite est 1, nous disons 333 fois 1 donne 333, et ceci plus 22 (le numérateur de la fraction précédente), donne 355 ; de manière similaire, 106 fois 1 donne 106, et ceci plus 7 donne 113.

De cette manière, en employant les quatre quotients [3; 7, 15, 1], nous obtenons les quatre fractions :

$\frac{3}{1}, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \,\ldots$

Ces réduites sont alternativement plus petits et plus grands que la vraie valeur de π, et s'en approchent de plus en plus. La différence entre une réduite donné π est inférieure à l'inverse du produit des dénominateurs de cette réduite et de la réduite suivante. Par exemple, la fraction 22/7 est plus grand que π, mais 22/7 - π est inférieur à 1/(7x106), donc 1/742 (en fait, 22/7 - π est juste inférieur à 1/790).

La démonstration des propriétés antérieures est déduite du fait que si nous cherchons la difféence entre une des fractions convergentes et son adjacente suivante, nous obtiendrons une fraction dans laquelle le numérateur est toujours l'unité et le dénominateur le produit des deux dénominateurs. Donc la différence entre 22/7 et 3/1 est 1/7, par excès ; entre 333/106 et 22/7, 1/742, par défaut ; entre 355/113 et 333/106, 1/11978, par excès ; et ainsi de suite. En employant cette série de différences, nous pouvons exprimer, d'une manière très simple, les fractions dont nous nous occupons ici, à l'aide d'une deuxième série de fractions dans laquelle les numérateurs sont tous l'unité et les dénominateurs successivement le produit de chaque dénominateurs deux fois adjacents. À la place des fractions écrites ci-dessus, nous avons donc les séries :

$\frac{3}{1}+\frac{1}{1 \cdot 7}-\frac{1}{7 \cdot 106}+\frac{1}{106 \cdot 113} \cdots$

Le premier terme, comme nous le voyons, est la première fraction ; le premier et le deuxième ensemble donne la deuxième fraction, 22/7 ; le premier, le deuxième et le troisième donne la troisième fraction 333/106, et ainsi de suite avec le reste ; le résultat de la série entière est équivalent à la valeur originale.

D'autres développements en fraction continuée

Alors qu'on ne peut pas discerner de motif dans le développement en fraction continuée infinie de π, ceci n'est pas vrai pour e, la base des logarithmes naturels : e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...].

Les nombres avec un développement périodique en fraction continuée sont précisément les solutions d'équations quadratiques avec des coefficients entiers. Par exemple, le nombre d'or $\phi\,\!$ = [1; 1, 1, 1, 1, 1, ...] et $\sqrt{2}\,\!$ = [1; 2, 2, 2, 2, ...].

Toutefois, la plupart des nombres irrationnels n'ont pas un comportement périodique ou régulier dans leur développement en fraction continuée. Pourtant Khinchin a démontré que pour presque tous les nombres réels x, le a_i (pour i = 1,2,3...) a une propriété surprenante : leur moyenne géométrique est une constante (connue comme la constante de Khinchin, K ≈ 2,6854520010...) indépendante de la valeur de x. Paul Lévy a montré que la nième racine du dénominateur de la nième réduite d'un développement en fraction continuée de presque tous les nombres réels approche une limite asymptotique, qui est connue comme la constante de Lévy.

Voir aussi

Liens externes :
- Un calculateur en ligne de fraction continuée (en anglais)

Références :
- A. Ya. Khinchin; Continued Fractions; University of Chicago Press.

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