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Fraction diadique

En mathématiques, une fraction diadique ou rationnel diadique est un nombre rationnel qui, lorsqu'il est écrit sous forme de fraction, possède un dénominateur sous forme de puissance de deux, c'est-à-dire un nombre rationnel de la forme a/2^b où a est un entier relatif et b est un entier naturel. Par exemple, 1/2 ou 3/8 mais pas 1/3 (comme les fractions de pouce utilisées communément aux USA, par exemple.)

Ce sont précisément les nombres qui ont un développement de « décimales » binaire fini. L'ensemble de toutes les fractions diadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels ; c'est un ensemble dense plutôt « petit », c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations (voir par exemple le lemme d'Urysohn). Les fractions diadiques forment un sous-anneau de l'ensemble Q.

Quelles propriétés possède cet anneau ?

Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions diadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.

Les anciens égyptiens utilisaient l'Œil d'Horus pour noter les fractions diadiques.

Solénoïde diadique

En tant que groupe abélien, l'ensemble des rationnels diadiques est la limite directe des sous-groupes cycliques infinis

2⁻ⁿZ

pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité Pontryagin, il existe un objet dual, nommément la limite inverse du groupe du cercle unité sous la transformation répétée carrée (?)

ζ → ζ².

Le groupe topologique résultant D est appelé le solénoïde diadique. En tant qu'espace topologique, c'est un continuum indécomposable.