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Fraction unitaire

Une fraction unitaire est un nombre rationnel écrit sous la forme d'une fraction où le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Une fraction unitaire est par conséquent l'inverse d'un entier positif, 1/n, comme par exemple : 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 etc.

La somme partielle

1/1+1/2+1/3+...+1/n

donne la série harmonique, et est limitée par log_e(n)+γ quand n augmente. Donc, la somme de toute les fractions unitaires est infinie.

Le produit de deux fractions unitaires est encore une fraction unitaire ; la somme et la différence peuvent être des fractions unitaires, pas souvent, néanmoins.

• 1/m × 1/n = 1/(mn)
  • 1/2 × 1/5 = 1/10
  • 1/3 × 1/6 = 1/18
• 1/m + 1/n = (n+m)/(mn)
  • 1/2 + 1/5 = 7/10
  • 1/3 + 1/6 = 1/2
• 1/m - 1/n = (n-m)/(mn)
  • 1/2 - 1/5 = 3/10
  • 1/3 - 1/6 = 1/6

N'importe quel nombre rationnel positif peut être écrit comme la somme de fractions unitaires distinctes. Le résultat est une fraction égyptienne, mais l'expression n'est pas unique. Par exemple 0,8 = 1/2+1/4+1/20 = 1/3+1/5+1/6+1/10.