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Géométrie non-commutative et théorie des cordes

Une récente branche des mathématiques et plus particulièrement de la géométrie a pris le nom de « géométrie non-commutative ». Cette théorie est évidemment de très haut niveau et peut-être qu'un intervenant viendra l'éclairer de façon accessible sur cette page.

Mais l'appellation même de « géométrie non commutative » peut surprendre. Pour comprendre ce point de vue il faut adopter la vision qu'a par exemple eue Einstein de l'Univers (et bien avant lui Leibnitz), et que les philosophes appellent souvent le « principe de simplicité des lois de la Nature ».

Pour en donner un exemple, regardons les droites dans un plan. Depuis Euclide on distingue les droites sécantes et les droites paralléles. Ceux qui ont été habitués dans leur jeunesse aux cas particuliers que ces distinctions impliquaient et aux nombreuses discussions qu'elles entrainaient, savent les complications qui en résultaient pour les problèmes de géométrie.

Le principe de simplicité des lois de la Nature évoquait la possibilité que les choses soient en fait plus simples. Mais naturellement, il y a loin entre le pressentiment d'une chose et sa réalisation effective. Aussi avons-nous gardé ces distinctions pendant des siècles, jusqu'à la découverte de la géométrie projective, où effectivement deux droites d'un plan sont toujours sécantes. Cette géométrie s'est alors révélée bien plus simple et surtout plus générale que la géométrie euclidienne, qu'elle prolonge.

Un exemple ne fait pas une démonstration mais le principe du rasoir d'Occam n'en perd pas pour autant ses droits. Leibnitz et Einstein l'ont constamment suivi, en considérant devoir se guider sur un principe de simplicité des lois de la Nature, même là où il s'oppose au sens commun. C'est poussé par ce principe que Copernic a supposé l'héliocentrisme avec la simplification que l'on sait, et en opposition avec la prudence scientifique de l'époque qui désirait s'en « tenir aux faits ».

Considérations personnelles d'un auteur (à supprimer ???)

Pour en revenir à la géométrie non commutative il y a donc comme une antinomie entre ces deux noms. La géométrie évoque la perfection presque idéale et la non-commutativité est en revanche le signe d'une imperfection manifeste. Si donc on se laissait guider ici aussi par le principe de simplicité des lois de la Nature, on devrait dire que la non-commutativité de cette géométrie est seulement due au fait que son approche est défectueuse, de même que la non-intersection de certaines droites du plan venait d'une conception étroite de la géométrie, ou que la non-régularité du mouvement apparent des planètes venait d'une conception erronée de leur mouvement.