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Géométrie non euclidienne


Une géométrie non euclidienne est une théorie géométrique remettant en cause les axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.

Les différentes géométries non euclidiennes sont issues de la volonté de démontrer le cinquième postulat (le postulat, après que les quatre autres ont été déclarés des axiomes) qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-être redondant. C'est à quoi Saccheri, procédant par l'absurde, avait échoué à la fin du XVIIe siècle.

Dans les Éléments d'Euclide, le postulat ressemble à un théorème tout en étant bien un postulat : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits, et qu'on peut comprendre comme : Par un point extérieur à une droite, il passe une parallèle à cette droite et une seule.

image:para_euclide.png

La droite d est la seule droite passant par le point M et parallèle à la droite D. Tout autre droite passant par M (comme par exemple les droites tracées en pointillée) est sécante avec D.

Cependant, durant de nombreux siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse.


Sommaire

La géométrie hyperbolique

Lobatchevsky, Felix Klein et Henri Poincaré ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point.

image:Para_lobatchevski.png

Il existe une infinité de droites qui comme d1, d2 et d3 passent par le point M et sont parallèles à la droite D.

Hormis le cinquième postulat, ces géomètries respectent toutes les autres définitions d'Euclide. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface.

La géométrie elliptique

Riemann a introduit un autre modèle de géométrie non euclidienne, la géométrie elliptique. Dans ce cas, par un point extérieur à une droite on ne peut mener aucune parallèle. Le modèle est très simple :

image:para_riemann.png

Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D.

Voir aussi


Bibliographie

Liens externes



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