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Géométrie vectorielle

La géométrie vectorielle est la partie de la géométrie euclidienne faisant intervenir les vecteurs.

Sommaire

1 Notations des vecteurs

2 Opérations sur les vecteurs dans le plan

2.1 Produit d'un vecteur par un scalaire
2.2 Somme de deux vecteurs
2.3 Produit scalaire de deux vecteurs

3 Opérations sur les vecteurs dans l'espace

4 Voir aussi

Notations des vecteurs

À l'époque où l'imprimerie ne disposait pas encore des possibilités actuelles, il était malaisé de mettre des flèches au-dessus des lettres, les vecteurs étaient donc notés en caractère gras. Ceci est toujours adopté lorsque l'on veut faire ressortir le caractère général des vecteurs (c'est-à-dire s'abstraire du côté géométrique).

Par ailleurs, dans les littératures anglo-saxonne et allemande, le produit vectoriel est noté ×. Ce n'est qu'en France qu'on le note ^, ce qui fait confusion avec le produit extérieur, qui lui est une construction mathématique correcte, très développée, et qui sert notamment aux formes différentielles. Ainsi, en France, les deux notations ci-dessous sont considérées comme équivalentes :

$\vec{u} \wedge \vec{v}$

u × v

(mais partout ailleurs qu'en France, cette confusion est considérée comme incorrecte).

L'ordre est important, car le produit vectoriel n'est pas commutatif.

$\vec{u} \wedge \vec{v} = - \vec{v} \wedge \vec{u}$

Opérations sur les vecteurs dans le plan

Comme souligné ci-dessus, certaines constructions géométriques sont spécifiques aux vecteurs. Ces constructions géométriques ayant des propriétés communes avec les opérations sur les nombres (addition, multiplication), on adopte une notation similaire.

Produit d'un vecteur par un scalaire

Pour un article complet, voir produit scalaire Le terme « scalaire » désigne ici un nombre réel. Le produit d'un vecteur $\vec{u}$ par un scalaire a est un vecteur noté

$a \cdot \vec{u}$

de même direction et sens de $\vec{u}$ , mais dont la longueur vaut

$a \cdot ||\vec{u}||$ .

Il s'agit d'une dilatation (si a >1) ou d'une contraction (si a <1), bref d'un homothétie de rapport a.

produit d'un vecteur u par un scalaire a
produit d'un vecteur $\rm \vec{u}$ par un scalaire a

On a

$1.\vec{u} = \vec{u}$ , $0.\vec{u} = \vec{0}$ et $a.\vec{0} = \vec{0}$

1 est donc l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires

$(a+b) \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u}$

mais il n'est pas commutatif : la notation $\vec{u} \cdot a$ n'a pas de sens.

Notez que deux vecteurs sont colinéaires (parallèles) si et seulement s’ils sont proportionnels, c'est-à-dire s'il existe un nombre a tel que $\vec{u} = a \cdot \vec{v}$ .

Somme de deux vecteurs

Pour un article complet, voir somme vectorielle La somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un vecteur, noté $\vec{u}+\vec{v}$ , qui est construit de la manière suivante :

on amène l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité du premier, la somme est le vecteur qui joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité de second.

Il s'agit du troisième côté d'un triangle formé par les deux premiers vecteurs.

On peut aussi le construire d'une autre manière :

on amène les origines des deux vecteurs en un même point, on trace un parallélogramme dont les vecteurs sont deux côtés, la somme est alors la diagonale du parallélogramme partant de l'origine.

Dans les deux cas, on place les vecteurs bout-à-bout ; mais si l'origine d'un vecteur correspond à l'extrémité de l'autre, on utilise la méthode du triangle, si les origines sont confondues, on utilise la méthode du parallélogramme.

Somme de deux vecteurs

Si l'on a trois points A, B et C, alors :

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

on déduit de cela que

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$

ce qui permet de définir l'opposé d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation

$-\overrightarrow{AB} = -1 \cdot \overrightarrow{AB}$

on a

$\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}$

L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens opposé.

On a :

$\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$

$\vec{0}$ est l'élément neutre de l'addition des vecteurs. Le l'addition des vecteurs est commutative

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$

produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :

$a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a \cdot \vec{u} + a \cdot \vec{v}$ .

Produit scalaire de deux vecteurs

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs faisant un angle α, on appel produit scalaire, et on note $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , le nombre (réel) valant :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\alpha)$ .

On note que si deux vecteurs sont orthogonaux (α = π/2 rad ou 90 °), alors leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire est positif si l'angle est aigu, négatif si l'angle est obtus.

Cette opération a été introduite pour simplifier les calculs sur les projections orhtogonales. En effet si v_u est la longueur algébrique de la projection de $\vec{u}$ sur une droite orientée selon $\vec{v}$ (v_u est positif si la projection est dans le même sens que $\vec{v}$ , négatif s'il est dans le sens opposé), alors on a

$\vec{u} \cdot \vec{v} = v_u \cdot ||\vec{v}||$

Ainsi, si la norme de $\vec{v}$ vaut 1, alors la longueur algébrique de la projection orthogonale de $\vec{u}$ sur la droite est $\vec{u} \cdot \vec{v}$ . De la même manière, si u_v est la longueur algébrique de la projection de $\vec{v}$ sur une droite orientée selon $\vec{u}$ ,alors on a

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_v \cdot ||\vec{u}||$

Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire est commutatif

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

il est distributif sur l'addition des vecteurs

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

le vecteur nul est l'élément absorbant du produit scalaire

$\vec{u} \cdot \vec{0} = \vec{0} \cdot \vec{u} = 0$

le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est le carré de sa norme :

$\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$

Voir aussi

Produit scalaire

Opérations sur les vecteurs dans l'espace

Notons tout d'abord que deux vecteurs non-colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ définissent un plan vectoriel ; un troisième vecteur $\vec{w}$ est coplanaire aux deux précédents si et seulement s'il peut s'écrire comme une combinaison linéaire des deux premiers, c'est-à-dire s'il existe deux réels a et b tels que

$\vec{w} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{v}$

Deux vecteurs étant toujours coplanaires, on peut définir dans l'espace les opérations « produit d'un vecteur par un scalaire », « somme de deux vecteurs » et « produit scalaire » de la même manière que dans le plan.

Trois vecteurs non coplanaires forment un trièdre. Le trièdre $(\vec{u},\vec{v}, \vec{w})$ est dit « direct » si on peut l'imager avec la main droite, $\vec{u}$ étant le pouce, $\vec{v}$ étant l'index et $\vec{w}$ étant le majeur.

On définit le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , et on note $\vec{u} \wedge \vec{u}$ , comme étant le vecteur

normal au plan $(\vec{u},\vec{v})$ ,
dont la norme vaut $||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$ ,
tel que $(\vec{u},\vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ forme un trièdre direct.