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Georg Cantor

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor est un mathématicien allemand né à Saint-Pétersbourg en Russie, le 3 mars 1845 et mort de schizophrénie le 6 janvier 1918 à Halle en Allemagne.

Issu d'une famille de riches commerçants danois qui s'installe en 1856 en Allemagne, il intègre en 1862 l'Ecole polytechnique de Zürich, puis après la mort de son père, en 1863, l'Université de Berlin pour y étudier les mathématiques. Il aura comme professeurs Ernst Kummer, Karl Weierstrass et Léopold Kronecker.

En 1872, il est nommé chargé de cours à l'université de Halle où il obtient une chaire en 1879. Toute sa vie, il tentera vainement de quitter Halle, finissant par croire qu'il était victime d'un complot. Malgré l'amitié qui le lie à Dedekind, celui-ci refusera à son tour de s'installer à Halle.

Lors de ses premiers travaux, consacrés aux séries de Fourier, Cantor ressent la nécessité de définir ce qu'est un nombre réel, ce qu'il réalise en 1872 au moyen de suites de Cauchy de nombres rationnels.

Mais les travaux qui ont passé Cantor à la postérité sont sans conteste ceux portant sur la théorie des ensembles. Il démontre en particulier (la validité de ses démonstrations fut fortement contestée par Léopold Kronecker) qu'il existe plusieurs niveaux d'infini (infini dénombrable des entiers naturels, infini de la « puissance du continu » des réels, infini des espaces de fonctions), et qu'entre ensembles de la même classe on peut construire une bijection (autrement dit : il y a « autant » de nombre fractionnaires que d'entiers, de points dans un petit segment de droite que dans tout l'espace, ...). Ces travaux furent qualifiés par David Hilbert de paradis cantorien, mais la question de leur validité et leur utilité reste un sujet ouvert.

Il a également exhibé des ensembles aux propriétés déroutantes (comme l'ensemble de Cantor) qui préfiguraient l'étude des fractales.

Bibliographie

• 1872 – Über die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5, p. 123-132 (Cantor [1932 p92-102]).

• 1874 – Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262, (Cantor [1932, p115-118]).

• 1878 – Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Journal de Crelle 84, p. 242-258 (Cantor [1932, p119-133]).

• 1879
  • a – Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. (Cantor [1932, p134-138]).
  • b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 1. (Cantor [1932 p139-145]).

• 1880 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 2. (Cantor [1932 p145-148]).

• 1882 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 3. (Cantor [1932 p149-157]).

• 1883
  • a – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 4. (Cantor [1932 p157-164)].
  • b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Grundlagen einer allgemein Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Cantor [1932 p165-208]).
    • bfr – Fondements d'une théorie générale des ensembles. Leibzig, Teubner. Trad. Milner in Cahiers pour l'Analyse 10. La formalisation, pp. 35-52, le Seuil, Paris 1969.

• 1884 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 6. (Cantor [1932 p210-246]).

• 1887-1888 – Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. (Cantor [1932, p378-439]).

• 1890 – Gesammelte Abhandlungen zur Lehre vom Transfiniten, Halle, C.E.M. Pfeffer (Cantor [1932, p370-439]).

• 1891 – Über eine elementare Frage zur Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1, p.75-78 (Cantor [1932 p278-281]).
  • fr - Traduction et introd. H. Sinacoeur Sur une question élémentaire de la théorie des ensembles, in Logique et fondements des mathématiques, Anthologie (1850-1914), Paris, Payot, p. 197-203.

• 1895-1897 – Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46, p. 481-512; 49, p. 207-246 (Cantor [1932, p282-356]).
  • fr - Trad. Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis. Trad F. Marotte. In Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, rééd. Gabay, Paris 1989. Disponible sur http://gallica.bnf.fr .

• 1905 – Ex Oriente Lux, Gespräche eines Meisters mit seinem Schüler über wesentliche Puncte des urkundlichen Christenthums. Berichtet vom Schüler selbst. Halle: C. E. M. Pfeffer.

• 1932 – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, E. Zermelo éd., Berlin, Springer (rééd., Hildesheim, G. Olms, 1966). Disponible sur en un seul document sur : [[1] ] ou [[2] ] .

• Correspondance Cantor-Dedekind, Trad. J. Cavaillès. in CAVAILLÈS J., Philosophie des mathématiques. Paris, Hermann, 1962, p. 179-250.

• Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathématiques, Vrin 1976 p. 223-262.

Signalons aussi le document électronique disponible sur le site de la BNF ([[3] ]) qui rassemble la majorité des œuvres de Cantor traduites en français : [1872], [1874], [1878], [1879], [1880], [1882], [1883a], [1883b], [1884]. Cela dit, si certaines de ces traductions ont été revues par Poincaré, d’autres sont souvent mauvaises et éparses, et sont donc à consulter avec toutes les précautions nécessaires. Voir la présentation de Pierre Dugac pour plus de détails.