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Groupe de Lie

En mathématiques, un groupe de Lie est une variété différentiable réelle ou complexe munie d'une structure de groupe, les opérations sur ce groupe devant également être différentiables. Le concept fut introduit par le mathématicien norvégien Sophus Lie en 1780 afin d'étudier certaines propriétés des équations différentielles et il est couramment utilisé en physique quantique.

Comme exemples de groupes de Lie, on peut citer l'espace euclidien $\mathbb R^n$ (muni de l'addition vectorielle ordinaire comme opération de groupe) ou, de façon plus caractéristique, les groupes des matrices inversibles (selon la multiplication matricielle) comme SO(3) ou le groupe des rotations dans un l'espace de dimension 3.

Sommaire

1 Définitions

2 Propriétés

2.1 Types de groupes de Lie
2.2 Homomorphismes et isomorphismes

3 Algèbre de Lie associée à un groupe de Lie

4 Exemples

4.1 Groupes de Lie réels
4.2 Groupes de Lie complexes

Définitions

Une structure algébrique G est un groupe de Lie si :

G est une variété différentiable réelle ou complexe et
G, munie de deux fonctions G×G $\mapsto$ G (multiplication) et G×G $\mapsto$ G (inversion), est un groupe.

Il est également possible de définir un groupe de Lie comme une variété topologique munie d'opérations de groupe continues. Cette définition est équivalente à la précédente et est une inteprétation du 5^e problème de Hilbert.

La dimension d'un groupe de Lie est définie comme sa dimension en tant que variété.

Propriétés

Types de groupes de Lie

Les groupes de Lie sont classés selon leur propriétés algébriques (simple, semisimple, solvable, nilpotent, abélien, connexe ou simplement connexe) et leur compacité.

Homomorphismes et isomorphismes

Si G et H sont deux groupes de Lie (tous deux réels ou complexes), alors un homomorphisme de groupe de Lie f : G $\mapsto$ H est un homomorphisme de groupe qui est également une fonction analytique (il suffit en fait que f soit continue).

La composition de deux homomorphismes de groupe de Lie est un homomorphisme de groupe de Lie et la classe de tous les groupes de Lie, munie de ces morphismes, est une catégorie. Deux groupes de Lie sont dit isomorphes s'il existe entre eux un homomorphisme bijectif dont la réciproque est également un homomorphisme.

Algèbre de Lie associée à un groupe de Lie

Il est possible d'associer à tout groupe de Lie une algèbre de Lie. Le procédé est le suivant :

Soit G un groupe de Lie, g un élément de G. L'application L_g : G×G $\mapsto$ G définie par L_g(f) = gf est un difféomorphisme.
Soit Γ(G) l'ensemble des corps de vecteurs tangents à G. Γ(G) est une algèbre de Lie, comme tout ensemble des corps de vecteurs d'une variété différentiable.
Soit X un élément de Γ(G). X est dit invariant à gauche si pour tout g de G, (L_g)_*X = X.
On pose Γ_inv(G) l'ensemble des éléments de Γ(G) invariants à gauche. Γ_inv(G) est une sous-algèbre de Lie de Γ(G). On la note g.
Soit T_eG l'espace tangent en e à G, e étant l'élément neutre de G. L'application $\left\{\begin{matrix} g \mapsto T_eG \\ X \rightarrow X_e \end{matrix}\right.$ (où X_e est la valeur de X en l'élément neutre) est bijective et permet donc de relier G à g. Cela permet de poser que g est l'algèbre de Lie associée à G.

Tout vecteur v de g détermine une fonction c : $\mathbb R \mapsto$ G dont la dérivée est donnée par le corps des vecteurs invariants à gauche :

c'(t) = c(t).v

et qui possède la propriété :

c(s + t) = c(s).c(t)

pour tous s et t. La similitude entre cette fonction et la fonction exponentielle justifie la définition :

e^v = c(1).

Cette fonction est également appelée fonction exponentielle et relie l'algèbre de Lie g au groupe de Lie G. Elle associe un difféomorphisme entre un voisinage de 0 dans g et un voisinage de e dans G.

Plusieurs groupes de Lie peuvent partager la même algèbre de Lie associée. Cependant, un groupe de Lie connexe est simple, semisimple, résolvable, nilpotent ou abélien si et seulement si son algèbre de Lie associée possède les mêmes propriétés.

Exemples

Groupes de Lie réels

Groupe de Lie	Description	Remarque	Algèbre de Lie	Description	Dimension
$\mathbb R^n$	Espace euclidien muni de l'addition	abélien, simplement connexe, non compact	$\mathbb R^n$	Le crochet de Lie est nul	n
$\mathbb R^*$	Nombres réels non nuls munis de la multiplication	abélien, non connexe, non compact	$\mathbb R$	Le crochet de Lie est nul	1
$\mathbb R^{>0}$	Nombres réels strictement positifs munis de la multiplication	abélien, simplement connexe, non compact	$\mathbb R$	Le crochet de Lie est nul	1
$S^1=\mathbb R/\mathbb{Z}$	Nombres complexes de module 1 munis de la multiplication	abélien, connexe, non simplement connexe, compact	$\mathbb R$	Le crochet de Lie est nul	1
$\mathbb{H}^{*}$	Quaternions non nuls munis de la multiplication	simplement connexe, non compact	$\mathbb{H}$	Quaternions	4
$\mathbb S^3$	Quaternions de module 1 munis de la multiplication, également noté Sp(1); topologiquement une sphère	simplement connexe, compact, simple et semisimple, isomorphe à SU(2) et Spin(3)	$Im(\mathbb{H})$	Quaternions de partie réelle nulle; isomorphe aux vecteurs réels de dimension 3, with Lie bracket the cross product; également isomorphe à su(2) et so(3)	3
$GL(n,\mathbb R)$	Groupe général linéaire : matrices réelles n×n inversibles	non connexe, non compact	$\mathcal M_n(\mathbb R)$	Matrices n×n	n²
$GL^{+}(n,\mathbb R)$	matrices réelles n×n à déterminant positif	simplement connexe, non compact	$\mathcal M_n(\mathbb R)$	Matrices n×n	n²
$SL(n,\mathbb R)$	Groupe spécial linéaire : matrices réelles de déterminant 1	simplement connexe, non compact si n > 1	$sl(n,\mathbb R)$	Matrices carrées de trace nulle	n²-1
$O(n,\mathbb R)$	Groupe orthogonal : matrices orthogonales réelles	non connexe, compact	$so(n,\mathbb R)$	matrices antisymétriques carrées réelles; $so(3,\mathbb R)$ est isomorphe à su(2) et $\mathbb R^3$ muni du produit vectoriel	n(n - 1)/2
$SO(n,\mathbb R)$	Groupe spécial orthogonal : matrices orthogonales réelles de déterminant 1	connexe, compact, non simplement connexe pour n≥2, simple et semisimple pour n=3 et n≥5	$so(n,\mathbb R)$	matrices antisymétriques carrées réelles	n(n - 1)/2
$Spin\left(n\right)$	Groupe Spin	simplement connexe, compact, simple and semisimple pour n=3 et n≥5	$so(n,\mathbb R)$	matrices antisymétriques carrées réelles	n(n - 1)/2
$Sp(2n,\mathbb R)$	Groupe symplectique : matrices symplectiques réelles	non compact, simple et semisimple	$sp(2n,\mathbb R)$	matrices réelles satisfaisant JA + A^TJ = 0 où J est la matrice antisymétrique standard	n(2n + 1)
$Sp\left(n\right)$	Groupe compact symplectique : matrices unitaires n×n quaternioniques	compact, simplement connexe, simple et semisimple	$sl\left(n\right)$	matrices quaternioniques carrées A vérifiant A=-A^*	n(2n + 1)
$U\left(n\right)$	Groupe unitaire : matrices unitaires n×n complexes	isomorphe à S¹ pour n=1, non simplement connexe, compact	$u\left(n\right)$	matrices carrées complexes A vérifiant A=-A^*	n²
$SU\left(n\right)$	Groupe spécial unitaire : matrices unitaires complexes n×n de déterminant 1	simplement connexe, compact, simple et semisimple pour n≥2	$su\left(n\right)$	matrices carrées complexes de traces nulles A vérifiant A=-A^*	n²-1

Groupes de Lie complexes

Les dimensions sont données sur $\mathbb C$ . Tout groupe ou algèbre de Lie complexe peut être vu comme un groupe ou une algèbre de Lie réel de dimension double.

Groupe de Lie	Description	Remarque	Algèbre de Lie	Description	Dimension
$\mathbb C^n$	Espace euclidien muni de l'addition	abélien, simplement connexe, non compact	$\mathbb C^n$	Le crochet de Lie est nul	n
$\mathbb C^*$	Nombres complexes non nuls munis de la multiplication	abélien, non simplement connexe, non compact	$\mathbb C$	Le crochet de Lie est nul	1
$GL(n,\mathbb C)$	Groupe général linéaire : matrices complexes n×n inversibles	simplement connexe, non compact, isomorphe à $\mathbb C^*$ pour n=1	$\mathcal M_n(\mathbb C)$	Matrices n×n	n²
$SL(n,\mathbb C)$	Groupe spécial linéaire : matrices complexes de déterminant 1	simple, semisimple, simplement connexe, non compact pour n≥2	$sl(n,\mathbb C)$	Matrices carrées de trace nulle	n-1
$O(n,\mathbb C)$	Groupe orthogonal : matrices orthogonales complexes	non connexe, non compact pour n≥2	$so(n,\mathbb C)$	matrices antisymétriques carrées complexes	n(n-1)/2
$SO(n,\mathbb C)$	Groupe spécial orthogonal : matrices orthogonales complexes de déterminant 1	non compact pour n≥2, non simplement connexe, simple et semisimple pour n=3 et n≥5	$so(n,\mathbb C)$	matrices antisymétriques carrées complexes	n(n-1)/2
$Sp(2n,\mathbb C)$	Groupe symplectique : matrices symplectiques complexes	non compact, simple et semisimple	$sp(2n,\mathbb C)$	matrices complexes satisfaisant JA+A^TJ=0 où J est la matrice antisymétrique standard	n(2n+1)

Catégories: Algèbre linéaire | Théorie des groupes | Physique quantique

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