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Groupe (mathématiques)


En mathématiques, plus particulièrement en algèbre abstraite, la notion de groupe est une abstraction des opérations naturelles, telles que l'addition, la multiplication, ou la composition, lorsqu'elles sont inversibles. Cette notion permet de modéliser des situations qui se retrouvent dans beaucoup de disciplines, non seulement en mathématiques, mais aussi en chimie et physique.

Sommaire

Définition

La structure algébrique d'un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles ; c'est-à-dire que c'est un ensemble \mathcal{G} muni d'une loi de composition interne \star qui satisfait les axiomes suivants:

En terme de variété équationelle, un groupe est une donnée (\mathcal{G},\star,e,f) (où G est un ensemble non-vide, \star une loi de composition interne de \mathcal{G}, e un élément de G et f une application de G dans G) soumise aux axiomes suivants :

Commutativité

Si deux éléments g et g' d'un groupe G vérifient g\star g'=g'\star g, on dit alors qu'ils commutent.

Si en plus l'opération \star est commutative, c'est-à-dire si tous les éléments du groupe commutent entre eux, le groupe lui-même est dit commutatif, ou abélien.

Attention : en général, les groupes ne vérifient pas cette propriété ! Il faut donc prendre garde à l'ordre dans lequel on écrit les produits !

Conventions

L'ensemble et le groupe lui-même sont le plus souvent confondus, et tous les deux notés par le même symbole, en négligeant de préciser de quelle loi de groupe on parle (le contexte est souvent assez explicite).

Pour un groupe en général, la loi est souvent notée comme une multiplication ; c'est-à-dire en écrivant , ou g\cdot g' pour g\star g', ce qui est plus léger. Dans ce cas, on note aussi 1 l'élément neutre.

Cependant quand le groupe est abélien, on préfère noter la loi + et l'élément neutre 0. Noter un groupe non-commutatif avec une loi + est un interdit tacite.

Exemples

Contre-exemples :

Sous-groupe

Un sous-groupe d'un groupe G est un sous-ensemble H de G qui est un groupe pour l'opération qu'il hérite de G. On note parfois H<G. On montre aisément qu'un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe si, et seulement si, il est non-vide et stable par l'opération et l'inverse : \forall x,y \in \mathcal{H}, x\star y^{-1} \in \mathcal{H}.

Exponentiation par un entier, ordre d'un élément

Définition de l'exponentiation

On peut définir une loi externe des entiers relatifs sur tout groupe, de la façon suivante : étant donnés n un entier relatif, et g un élément d'un groupe (G,∗,1), on pose :

Il faut noter que cette nouvelle notation est compatible avec la notation pour l'inverse d'un élément.

Cette exponentiation vérifie les propriétés suivantes: \forall m,n \in \mathbb{Z}, \forall g \in \mathcal{G} :

Attention : on n'a (g\star g')^n = g^n \star g'^n pour tous g, g' \in \mathcal{G}, n \in \mathbb{Z} que si le groupe est commutatif. Cependant, si g et g' commutent, on a bien (g\star g')^n = g^n \star g'^n pour tous n \in \mathbb{Z}.

On dit d'un élément g d'un groupe qu'il est nilpotent s'il existe un entier non nul n tel que .

Ordre d'un élément

Si on se fixe g \in \mathcal{G}, cette loi externe, avec ses propriétés, permet de définir un morphisme de groupes : \mathbb{Z}\rightarrow \mathcal{G}, via : n \mapsto g^n. Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe de \mathbb{Z}, de la forme o\mathbb{Z} (petit o, et non zéro), avec o \in \mathbb{N} ; si cet entier o est nul on dit que g est d'ordre infini, sinon on dit qu'il est d'ordre o.

Exemples

Histoire

La notion de groupe a été mise en évidence par Évariste Galois, qui cherchait à comprendre comment se comportent les racines des polynômes.

Voir aussi



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