Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] \| Liste Catégories \| Une page au hasard \| Pages liées

Groupe orthogonal

En mathématiques, le groupe orthogonal de degré n d’un corps E est le groupe des matrices orthogonales n×n à coefficients dans E, muni de la multiplication matricielle. Il est noté O(n,E). C’est un sous-groupe du groupe général linéaire GL(n,E).

Toute matrice orthogonale a un déterminant égal à 1 ou -1. Les matrices orthogonales n×n de déterminant 1 forment un sous-groupe invariant de O(n,E) appelé le groupe spécial orthogonal et noté SO(n,E). Si la caractéristique de E est 2, alors O(n,E) et SO(n,E) coincident. Dans le cas contraire, l’index de SO(n,E) dans O(n,E) est 2.

O(n,E) et SO(n,E) sont des groupes algébriques, car la condition que leurs matrices soient orthogonales, c’est à dire que leur transposée soit leur inverse, peut s’exprimer comme un ensemble d’équations polynômiales dans éléments de ces matrices.

Nombres réels

Sur le corps $\mathbb R$ des nombres réels, O(n, $\mathbb R$ ) et SO(n, $\mathbb R$ ) sont généralement simplement notés O(n) et SO(n) quand aucune confusion n’est possible. Ils forment deux groupes de Lie compacts de dimension n(n-1)/2. O(n) possède deux composantes connexes, SO(n) étant celle contenant la matrice identité.

Géométriquement, O(n) est isomorphe au groupe des isométries de $\mathbb R^n$ laissant invariant l’origine. SO(n) est isomorphe au groupe des rotations de $\mathbb R^n$ laissant l’origine invariante.

SO(2) est isomorphe (en tant que groupe de Lie) au cercle S¹, formé des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication. Cet isomorphisme lie le nombre complexe e^i.φ = cos(φ) + i.sin(φ) à la matrice orthogonale

$\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\ \sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}$

Le groupe SO(3), compris comme l’ensemble des rotations dans l’espace tridimensionnel, est appelé groupe des rotations.

En termes de topologie algébrique, pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n) est le groupe cyclique d’ordre 2 et le groupe Spin Spin(n) est son recouvrement universel. Pour n=2, le groupe fondamental est le groupe cyclique infini et son recouvrement universel correspond à la droite des réels.

L’algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n) et SO(n) est formée des matrices n×n antisymétriques. Elle est généralement notée o(n) ou so(n).

Nombres complexes

Sur le corps $\mathbb C$ des nombres complexes, O(n, $\mathbb C$ ) et SO(n, $\mathbb C$ ) (là aussi notés O(n) et SO(n) quand aucune confusion n’est possible) sont des groupes de Lie complexes de dimension n(n-1)/2 sur $\mathbb C$ (le double sur $\mathbb R$ ). O(n) possède deux composantes connexes, SO(n) étant celle contenant la matrice identité. Pour n≥2, ces groups ne sont pas compacts.

Pour n>2, le groupe fondamental de SO(n) est le groupe cyclique d’ordre 2, tandis que le groupe fondamental de SO(2) est le groupe cyclique infini.

L’algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n) et SO(n) est formée des matrices complexes n×n antisymétriques.

Catégories: Algèbre linéaire | Théorie des groupes

This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the