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Groupe fini

Groupes finis - Introduction

On dit qu'un groupe est fini si son cardinal est fini. Son cardinal est alors noté et est appelé ordre du groupe.
Pour tout élément de on définit l'ordre de comme le plus petit entier non nul tel qu'en notant l'élément neutre on ait .
Si est un groupe, on dit qu'un sous-ensemble de engendre ce groupe si tous les éléments de peuvent s'écrire comme produit (par la loi *) d'éléments de .
Un groupe engendré par un singleton {} est dit monogène.
Si de plus le groupe est fini, on dit qu'il est cyclique. L'ordre du groupe est alors l'ordre du singleton et un tel groupe est évidemment commutatif.

Tous les éléments d'un groupe fini ont un ordre inférieur à .
Un résultat fondamental dans l'étude des groupes finis est le Théorème de Lagrange :
Soit un groupe fini et un sous-groupe de . L'ordre de divise l'ordre de .

Exemples

Les exemples de groupes finis sont nombreux en mathématiques, on peut en donner les plus courants :

• Les groupes symétriques : groupes des bijections d'un ensemble fini dans lui-même ;
• Les classes résiduelles modulo n :  ;
• Groupe des racines nièmes de l'unité :  ;
• L'ensemble des isométries qui conserve le polygone régulier à n côtés (également appelé groupe diédral, noté ).

Voir aussi :

• Groupe (mathématiques)