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Homothétie

Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.

Le terme, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé des deux éléments d'origine grecque, le préfixe homo- pour « semblable » et thesis pour « position ». Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation. Ainsi, deux poupées russes regardant dans la même direction peuvent être vues comme homothétiques.

Dans la suite nous traitons des homothéties du plan, mais les propriétés énoncées restent vraies dans l'espace.

Définition

Soient O un point du plan P et k un réel non nul, on appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à tout point M associe le point M défini par :

Valeurs particulières de k

pour k=1: Chaque point étant invariant, l'homothétie est la transformation identique.

pour k=-1: L'homothétie de rapport -1 est la symétrie centrale de centre O.

Propriétés

• Si par l'homothétie h de centre O et de rapport k, A a pour image A ' et B a pour image B ' alors :
  

. Cette propriété rappelle le fameux théorème de Thalès.

• L'homothétie conserve les angles orientés. En particulier elle conserve aussi le parallélisme et l'orthogonalité.
• L'image d'une droite est une droite.
• L'image d'un cercle est un cercle.
• Une homothétie de rapport k, , n'est pas une isométrie : elle modifie les distances dans le rapport |k| et les aires dans le rapport k².