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En mathématiques, le concept topologique d'homotopie formalise
la notion naturelle de « déformation continue » d'un objet vers un autre.
| Sommaire |
On se donne deux espaces topologiques 
et
. Deux fonctions continues 
sont dites homotopes (dans ) s'il existe une application continue ![H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!](/Images/6/678f38ea0cd6420b94118ea72e528cf0.png)
telle
que :
Autrement dit, selon les valeurs du paramètre 
, la fonction 
passe continûment de
(pour 
) à 
(pour 
). Chaque valeur du paramètre correspond à une fonction :
"située entre et ".
Une autre manière de le voir est que pour chaque 
, la fonction définit un
chemin 
reliant 
à 
:
![\gamma_x \, : \, [0,1] \rightarrow Y, \, t \mapsto H(x,t) \,\!](/Images/e/e4b18e2fbb25bc9fb2319fe5a53b95cd.png)
Exemple 1 : On prend 
,
, 
et 
. Alors et sont homotopes dans via la
fonction continue :
(à noter que dans cet exemple rien ne dépend de la variable 
ce qui est exceptionnel...).
" peut s'avérer très importante ; en effet dans l'exemple précédent si on remplace par le sous-espace 
, et sont toujours à valeurs dans 
mais elles ne sont pas homotopes dans , car il n'existe pas de fontion continue reliant 
à 
dans 
(voir le théorème des valeurs
intermédiaires).Exemple 2 : On prend ![X = [0,1] \,\!](/Images/f/fc858ecf7dce75a89828944e7068fae2.png)
,
, 
et 
. décrit un cercle de rayon unité autour de l'origine ;
reste à l'origine. Alors et sont homotopes via la fonction continue :
(pour chaque valeur de la fonction
décrit un cercle de rayon
autour de l'origine).
L'homotopie des fonctions est une relation
d'équivalence sur l'ensemble 
des applications continues de vers . Une des premières application de l'homotopie est la
définition de la connexité simple via l'homotopie des lacets.
La définition de l'homotopie entre deux espaces peut paraître abstraite, mais elle correspond à l'idée très simple de déformation continue.
Étant donné deux espaces topologiques 
et
, on dit qu'ils sont homotopiquement
équivalents (ou "du même type homologique") si et seulement si il existe deux applications continues 
et 
telles que :
est homotope à 
l'identité de ;
est homotope à 
l'identité de .On parlera plus souvent d'équivalence homotopique entre deux parties d'espaces topologiques.
Deux espaces topologiques homéomorphes sont homotopiquement équivalents mais la réciproque est fausse en général comme le montrent les exemples suivants.
Exemples :
c'est-à-dire un plan privé d'un point.![[a,b] \,\!](/Images/8/8b596d04e319e05cadcc7dcf251a9815.png)
, un disque fermé ou une boule fermée sont homotopiquement équivalents entre
eux, et homotopiquement équivalent à un point.L'équivalence homotopique est une relation d'équivalence entre espaces topologiques. Diverses propriétés importantes en Topologie algébrique sont conservées par équivalence homotopique, parmi lesquelles : la connexité simple, la connexité par arcs, les groupes d'homologie et de cohomologie...
L' isotopie est un raffinement de l'homotopie ; dans le cas ou les deux applications continues 
et 
sont des homéomorphismes on peut vouloir passer de à , non seulement continûment mais en plus par homéomorphismes.
On dira donc que et sont isotopes si et seulement si il existe une
application continue telle que :
![t \in [0,1] \,\!](/Images/b/bfa0f1f24a438981cb0253c333596893.png)
l'application partielle
est un homéomorphisme.La fonction est définie par 
.
La notion d'isotopie est notamment importante en théorie des noeuds : deux noeuds sont considérés identiques s'ils sont homotopes, c'est-à-dire si on peut déformer l'un pour obtenir l'autre sans que la "corde" se déchire ou se pénètre.
