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Hypothèse du continu

George Cantor, en mettant en place la théorie axiomatique des ensembles, définit les cardinaux des ensembles infinis, qu'il appela alors nombres transfinis, dans le but de comparer les differents infinis. Au fur et à mesure de la formation de sa théorie, il en vint à comparer les cardinaux de $\mathbb{N}$ , qui correspond au dénombrable, et de $\mathbb{R}$ , qui correspond au continu. Ainsi, au travers de son hypothèse sur le continu, Cantor « hierarchisa » ces differents transfinis, mais, n'arrivant pas à demontrer son hypothèse, il faudra attendre 1960 pour apprendre qu'elle fait partie des indécidable de la théorie des ensemble. Montrant par ailleurs l'importance que les mathématiciens lui vouent, elle figure en tête de la liste des 23 problèmes de Hilbert.

Sommaire

1 Definition de l'hypothèse du continu

2 Indécidabilité de l'hypothèse du continu

2.1 Travaux de Gödel
2.2 Travaux de Cohen

3 Généralisation de l'hypothèse du continu

Definition de l'hypothèse du continu

On définit $\aleph_0$ (aleph zéro) comme le cardinal de $\mathbb{N}$ . Soit $\aleph$ le cardinal de $\mathbb{R}$ .
Soit $\aleph_1$ le plus petit cardinal strictement supérieur à $\aleph_0$ , l'hypothèse du continu déclare que $\aleph = \aleph_1$ . En d'autres termes, cela signifie qu'il n'existe pas d'ensemble infini dont le cardinal serait strictement compris entre le cardinal de $\mathbb{N}$ et celui de $\mathbb{R}$ . On passe donc du dénombrable (ou discret), au continu, en faisant un seul bond.

Indécidabilité de l'hypothèse du continu

Travaux de Gödel

Kurt Gödel a montré en 1938 que l'ajout de l'hypothèse du continu à la théorie des ensembles, défini par exemple par les axiomes de Zermelo-Frenkel, ne changeait nullement la consistance de cette théorie, même si on l'augmente de l'axiome du choix.

Travaux de Cohen

Enfin, Paul Cohen a montré en 1960 que l'hypothèse du continu était un indécidable de la théorie des ensembles basés sur les axiomes de Zermelo-Frenkel. Elle est donc indépendante de la théorie des ensembles.

Pour autant, Il est possible que l'on puisse definir un jour des nouvelles bases de la notion d'ensemble, basé par exemple sur de nouveaux axiomes, qui permettraient la confirmation ou l'infirmation de l'hypothèse du continu.

Généralisation de l'hypothèse du continu

L'hypothèse généralisée du continu déclare qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal serait strictement compris entre un ensemble de cardinal $\aleph_\alpha$ et un l'ensemble de cardinal $2^{\aleph_\alpha}$ :

On a donc $2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha + 1}$ .

Catégories: Théorie des ensembles | Nombre | Axiome

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