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Idéal

Idéal à gauche, à droite

En mathématiques, on dit qu'une partie d'un anneau est un idéal à gauche de A si :

I est un sous-groupe additif de A.
$\forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I$
Le produit, à gauche, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

et est un idéal à droite de A si :

I est un sous-groupe additif de A.
$\forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I$
Le produit, à droite, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

Un idéal bilatère est un idéal à gauche et à droite. Tout idéal (à gauche ou à droite) est donc un idéal bilatère dans un anneau commutatif.

Par exemple, pour tout entier relatif , $k \mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ .

L'idéal engendré par un élément d'un anneau est, par définition, le plus petit idéal contenant ; il est noté .

On dit qu'un idéal d'un anneau est principal s'il existe un élément de tel que .

Un anneau dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal. Par exemple, $\mathbb{Z}$ est un anneau principal.