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Identité d'Euler

L'identité d'Euler est la relation suivante :

où est la base du logarithme népérien, le nombre imaginaire (vérifiant i² = -1), et est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans, Richard Feynman, qualifia cette identité de « formule la plus remarquable au monde ».

Feynman a trouvé cette formule remarquable parce qu'elle lie des constantes mathématiques fondamentales:

• Les nombres 0 et 1 sont élémentaires en arithmétique.
• Le nombre est une constante relative à notre monde euclidien, au moins sur de petites échelles (sinon le rapport de la longueur de la circonférence du cercle à son diamètre n'est pas une constante universelle, c'est-à-dire la même pour toutes les circonférences).
• Le nombre est important dans la description des comportements de forte croissance, et apparaît dans la solution () de la plus simple équation différentielle de croissance : et .
• Enfin, le nombre imaginaire a été introduit pour que tous les polynômes non constants admettent des racines (voyez le théorème de d'Alembert).

La formule comporte également les opérations arithmétiques fondamentales d'addition, de multiplication et d'élévation à une puissance. Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe :

Pour tout nombre réel ,

Si nous posons , alors

et puisque cos(π) = -1 et sin(π) = 0, nous obtenons

et par conséquent,