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Identité de Bézout

L'identité de Bézout découle du théorème suivant :

Si a et b sont des entiers relatifs avec comme plus grand commun diviseur d, alors il existe au moins un couple d'entiers relatifs x et y tels que

$a \cdot x + b \cdot y = d$ (identité de Bézout).

Le théorème de Bachet de Méziriac découle immédiatement de l'identité de Bézout, appliqué au cas d = 1:

Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe au moins un couple d'entiers relatifs x et y tels que

$a \cdot x + b \cdot y = 1$ .

Les entiers x et y ci-dessus peuvent être déterminés par l'algorithme d'Euclide étendu; ils ne sont cependant pas déterminés de manière unique.

Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et nous pouvons écrire

$(-3) \cdot 12 + 1 \cdot 42 = 6$

et aussi

$4 \cdot 12 + (-1) \cdot 42 = 6$ .

À partir d'un couple solution , il est possible d'obtenir toutes les autres solutions :

$a \cdot (x_0 - k \cdot {b \over d}) + b \cdot (y_0 + k \cdot {a \over d}) = d$

Extension aux anneaux principaux quelconques

L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers, mais aussi dans tout autre anneau principal. C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, et d est un plus grand diviseur commun de a et b, alors il existe des éléments x et y dans A tels que : ax + by = d.

Origines

L'identité de Bézout porte le nom du mathématicien français du XVIII^e siècle Étienne Bézout. Certaines sources ommettent l'accent (« identité de Bezout »), vraisemblablement du souci des enseignants en lycée d'éviter tout jeu de mots scabreux.

Le théorème porte le nom d'un autre mathématicien français Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, .

Voir aussi

théorème de Bézout en géométrie algébrique

Catégories: Théorème | Arithmétique

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