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Identité remarquable (mathématiques élémentaires)

On appelle identités remarquables, en mathématiques, les égalités suivantes (et d'autres égalités analogues). Elles s'obtiennent, grâce à la propriété de distributivité de la multiplication, en développant et factorisant des expressions.

Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

Démonstrations algébriques

(grâce à la commutativité de la multiplication : )

L'identité avec s'obtient de celle avec en remplaçant b par -b.

Démonstrations géométriques

1. Carré de somme ou de différence à la manière du livre II des Éléments d'Euclide. La figure ci-contre permet de justifier les deux premiers items du formulaire.
   1. On peut convenir que la figure représente un carré dont le côté est somme de deux valeurs a et b. Son aire vaut donc (a+b)². Mais elle s'obtient aussi par l'addition de l'aire du carré jaune (a²), des aires des rectangles verts (ab pour chacun) et de l'aire du carré violet (b²).
   2. On peut convenir aussi que a désigne le côté du grand carré et b le côté du carré jaune. L'aire du carré violet vaut donc (a-b)². Mais cette valeur peut s'obtenir en retranchant du grand carré d'aire a² deux rectangles jaunes et verts d'aire ab et en rajoutant une fois b² car l'aire de ce carré jaune a été soustraite deux fois.

Voir aussi

• Factorisation (mathématiques élémentaires)
• Identités remarquables