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Identité remarquable (mathématiques élémentaires)


Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique
Probabilité
Statistique


On appelle identités remarquables, en mathématiques, les égalités suivantes (et d'autres égalités analogues). Elles s'obtiennent, grâce à la propriété de distributivité de la multiplication, en développant et factorisant des expressions.

Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

Démonstrations algébriques

(grâce à la commutativité de la multiplication : )

L'identité avec s'obtient de celle avec en remplaçant b par -b.

Démonstrations géométriques

  1. Carré de somme ou de différence à la manière du livre II des Éléments d'Euclide. La figure ci-contre permet de justifier les deux premiers items du formulaire.
    1. On peut convenir que la figure représente un carré dont le côté est somme de deux valeurs a et b. Son aire vaut donc (a+b)². Mais elle s'obtient aussi par l'addition de l'aire du carré jaune (), des aires des rectangles verts (ab pour chacun) et de l'aire du carré violet ().
    2. On peut convenir aussi que a désigne le côté du grand carré et b le côté du carré jaune. L'aire du carré violet vaut donc (a-b)². Mais cette valeur peut s'obtenir en retranchant du grand carré d'aire deux rectangles jaunes et verts d'aire ab et en rajoutant une fois car l'aire de ce carré jaune a été soustraite deux fois.

Voir aussi



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