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Identité trigonométrique

Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent être utiles quand une expression comportant des fonctions trigonométriques a besoin d'être simplifiée. Les fonctions trigonométriques servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions «non trigonométriques»: un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à ensuite simplifier l' intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation: avec les fonctions trigonométriques, nous définirons sin², cos², etc., les fonctions telles que pour tout réel x, sin²(x) = (sin(x))², ...

Sommaire

1 À partir des définitions

2 Périodicité, parité

3 À partir du théorème de Pythagore

4 Théorèmes d'addition

5 Formules d'angle double

6 Formules d'angle multiple

7 Formules de réduction des puissances

8 Formules d'angle moitié

1 Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »

1.1 Produits en sommes

1.2 Sommes en produits

1.3 Fonctions trigonométriques réciproques

1.4 Identités sans variable

1.5 Calculs

À partir des définitions

$\tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cotan}(x) = \frac {\cos (x)} {\sin(x)}$

$\operatorname{sec}(x) = \frac{1} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cosec}(x) = \frac{1} {\sin(x)}$

Périodicité, parité

Il est facile de voir sur le cercle trigonométrique que:

$\sin(x) = \sin(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

$\sin(-x) = -\sin(x) \qquad \cos(-x) = \cos(x)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \operatorname{cotan}(-x) = -\operatorname{cotan}(x)$

$\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \operatorname{cotan}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

(la démonstration dépend de la définition des fonctions cosinus, sinus)

En physique, il est important de savoir que toute combinaison linéaire d' ondes sinusoïdales de même période mais de différentes phases est aussi une onde sinusoïdale de même période mais avec un phase différente.

En d'autres termes :

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x-\varphi)$

où

$\varphi=-{\rm arctan}(b/a).$

À partir du théorème de Pythagore

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \qquad \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \qquad {\rm cotan}^2(x) + 1 = { \rm cosec}^2(x)$

Théorèmes d'addition

Le moyen le plus rapide pour démontrer ces formules est d'utliser les formules d' Euler en analyse complexe.

La formule de la tangente découle des deux autres:

$\sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)\,\!$

$\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)\,\!$

$\tan(x + y) = \frac{\tan(x) + \tan(y)}{1 - \tan(x)\tan(y)}$

${\exp}\left(i(x+y)\right)={\exp}(ix)\,{\exp}(iy)$

Formules d'angle double

Ces formules peuvent être obtenues en remplaçant $x = y\,\!$ dans les théorèmes d'addition, et en utilisant le théorème de Pythagore pour les deux dernières, ou bien en utilisant la formule de Moivre avec $n = 2\,\!$ .

$\sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x)\,\!$

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)\,\!$

$\tan(2x) = \frac{2 \tan (x)} {1 - \tan^2(x)}\,\!$

Formules d'angle multiple

Si T_n est le nème polynôme de Tchébytchev alors

$\cos(nx)=T_n(\cos(x))\,\!.$

La formule de Moivre s'écrit:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n\,\!$

Le noyau de Dirichlet D_n est la fonction définie par :

pour tout réel x, $D_n(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}$

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré-intégrable et de période 2π avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d' ordre n de sa série de Fourier.

Formules de réduction des puissances

Ces formules permettent d 'écrire cos²(x) et sin²(x) en fonction du cosinus de l' angle double.

$\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}$

Formules d'angle moitié

En remplaçant x par x/2 dans les formules de réduction des puissances, et ensuite en cherchant l'expression de cos(x/2) et sin(x/2), nous obtenons:

$\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 + \cos(x)}{2}\right)}$

$\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 - \cos(x)}{2}\right)}$

Multiplions tan(x/2) par 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) et remplaçons sin(x/2) / cos(x/2) par tan(x/2). Le numérateur est alors égal à sin(x) d' après la formule d' angle double, et le dénominateur est égal à 2cos²(x/2) - 1 + 1 qui est aussi égal à cos(x) + 1 d' près la formule d' angle double.

La seconde formule vient de la première en la multipliant par sin(x) / sin(x) et en simplifiant en utilisant le théorème de Pythagore.

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x) + 1} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$

Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »

Si on pose $t=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ , on a:

$\cos(\theta)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin(\theta)=\frac{2t}{1+t^2}$

$\tan(\theta)=\frac{2t}{1-t^2}$

ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

Produits en sommes

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d' addition:

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

$\sin(x) \sin(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

$\sin(x) \cos(y) = {\sin(x + y) + \sin(x - y) \over 2}$

Sommes en produits

Il suffit de remplacer x par (x + y) / 2 et y par (x– y) / 2 dans les formules de transformation de produit en somme.

$\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)$

$\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)$

Fonctions trigonométriques réciproques

Si x > 0 alors

$\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(1/x)=\frac{\pi}{2}.$

Si x < 0 alors le côté droit de l' égalité est égal à -π/2.

$\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(y)=\operatorname{Arctan}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

Beaucoup d' identités similaires à la suivante peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore:

$\cos(\operatorname{Arcsin}(x))=\sqrt{1-x^2}$

Identités sans variable

Richard Feynman qui était réputé pour avoir très bien appris ses formules de trigonométrie, s'est toujours rappelé de cette curieuse identité :

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=1/8.$

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable et s'obtient à partir de l'égalité :

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.$

Les relations suivantes peuvent aussi être considérées comme des identités sans variable :

$\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=1/2.$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=1/2.$

Il se trouve que la mesure en degrés des angles ne donne pas une formule plus simple qu'avec la mesure en radians lorsque nous considérons cette identité avec 21 aux dénominateurs:

$\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=1/2.$

Mais les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 peuvent nous faire penser aux entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21. Les derniers exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède); seulement la moitié des racines sont présentes dans la relation précédente.

Calculs

En calcul, il est essentiel que les angles qui apparaissant comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses. Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, alors leurs dérivées peuvent être obtenues en établissant préalablement ces limites :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0,$

et en utilisant alors la définition avec les limites de la dérivée en un point ainsi que les théorèmes d' addition; si les fonctions trigonométriques sont définies par leurs séries de Taylor, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les séries entières terme à terme.

${d \sin \over dx}(x) = \cos(x)$