Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées

Identités logarithmiques

Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés ( a, b, et c) soient strictement positifs. En outre, ceux de ces nombres qui sont en indice(base d'un logarithme) doivent être différents de 1.

Valeurs particulières

• log_a(1) = 0
• log_a(a) = 1

Multiplication, division et exponentiation

• log_c(ab) = log_ca + log_cb
• log_c(a/b) = log_ca - log_cb
• pour tout nombre réel r, log_c(a^r) = r. log_c(a)

Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Les applications logarithme et exponentielle sont réciproques

a^log_a(b) = b

pour tout nombre réel r, log_a (a^r) = r

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Formule de changement de base

log_ab = (log_cb)/(log_ca)

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer. Par exemple, la plupart des calculatrices ont une touche ln et une autre log₁₀, mais pas de touche log₂. Pour déterminer log₂(100), vous pouvez calculer log₁₀(100) / log₁₀(2) (ou ln(10)/ln(2), ce qui revient au même).

Limites

lim_x→0 log_a(x) = -∞     pour a > 1

lim_x→0 log_a(x) = ∞     pour a < 1

lim_x→∞ log_a(x) = ∞     pour a > 1

lim_x→∞ log_a(x) = -∞     pour a < 1

lim_x→0 log_a(x). x^b = 0

lim_x→∞ log_a(x) / x^b = 0

La dernière limite est souvent interprétée comme «en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable».

Dérivée

d/dx log_a(x) = 1 / (x ln(a))

Primitive

∫ log_a(x)dx = x .[ log_a(x) - log_a(e) ]