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L'idéographie (Begriffsschrift) est un langage graphique idéal inventé par Gottlob Frege pour tenter de représenter de manière parfaite la logique mathématique. La première publication date de 1879. Ce langage utilise le plan comme espace de travail et ne se limite pas à la ligne (comme la logique
d'aujourd'hui, basée sur les Principia Mathematica de Bertrand
Russell et Alfred North Whitehead qui en est
tributaire). Ce langage est aujourd'hui inutilisé même s'il en subsiste des traces par exemple dans le symbole de négation
« ¬ », de conséquence « ⊢ » ou de tautologie
« ⊨ ».
L'idéographie utilisée dans les Lois fondamentales de l’arithmétique (Grundgesetze der Arithmetik) s'est
trouvée détruite par le paradoxe de Russell. Elle
contient en plus de la version de 1879 la loi V qui aboutit à une contradiction comme ∃x F(x)∧¬F(x). L'idéographie de 1879 et les
théorèmes des Grundgesetze der Arithmetik utilisant cette loi V sont tout de même valides.
Cette loi V exprime que deux extensions de concepts sont identiques quand ils ont les mêmes cas de vérités, soit comme l’écrit
Frege dans les Lois fondamentales ἐF(ε) = ἀG(α) = ∀x(F(x) = G(x)), ce qui établit une équipotence (même cardinal) entre l’ensemble des extensions de concepts et celui des concepts, ce qui est
contredit par le fait qu’un ensemble a un cardinal strictement inférieur à celui de l’ensemble de ses sous-ensembles. De plus, un
corollaire de cette loi V est que tout concept admet une extension, y compris les plus farfelus comme celui-ci « être une
extension du concept sous lequel on ne tombe pas » qui exprimé dans l’idéographie des Lois fondamentales ainsi x=εF
∧ ¬F(x), qui aboutit au paradoxe du barbier.
| Sommaire |
| Idéographie | Signification | Explication |
|---|---|---|
|
─ A |
A est une proposition, on l’affirme logiquement | A signifie quelque chose qui a un sens et qu'on peut juger soit vrai soit faux, le trait horizontal est appelé trait de contenu |
|
┬ A |
A est aussi une proposition, on exprime sa négation logique | A est une proposition niée mais attention, on n’a pas pour autant écrit que A était fausse |
|
├─ A |
A est une tautologie | A est une proposition —donc A signifie quelque chose— et de plus A est vraie, le trait vertical est appelé trait de jugement |
|
├┬ A |
A est une contradiction | A est une proposition et de plus A est fausse |
|
─┬─ B |
A implique B | L'implication est décrite par Frege comme B ou non A, il s'agit de l'implication logique classique, voir ci-après |
|
─┬─ B |
non A implique B, soit A ou B | Vu la ligne supérieure, on a B ou non non A, soit B ou A |
|
─┬┬ B |
(non A) implique (non B) | |
|
─┬┬ B |
A implique non B, soit non (A et B) | Il est faux que A et non non B |
|
┬┬─ B |
non (non A implique B) | non (A ou B) |
|
┬┬┬ B |
non (A implique non B) | A et B |
|
─┬┬┬─ A |
A est équivalent à B | |
| ─ A ≡ B | A et B ont le même contenu | Il faut différencier l’équivalence logique de l’identité de contenu |
L’implication est exprimée par Frege
ainsi, quand on a deux propositions A et B, on a 4 cas :
L’implication B implique A (B⊃A) nie le troisième cas, en d’autres termes il est faux qu’on a à la fois B vrai et A faux.
L'idéographie est construite sur l’implication, ce qui facilite l’usage de la règle du détachement, c'est-à-dire que si A est
vraie et si A implique B est vraie, alors B est aussi vraie (A ∧ (A⊃B) ⊃ B).
Elle contient le quantificateur universel ∀, codé par un petit creux surmonté d'une lettre gothique qui remplace le trait ─ (pas
disponible en unicode). Le carré logique est aussi présent.
Elle contient aussi la définition, codée dans l'idéographie par le caractère unicode suivant : ╟.
