Page d'accueil encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées

Image directe


Si f:X\rightarrow Y est une fonction d'un ensemble X dans un ensemble Y et A un sous-ensemble de X, alors l'image directe de A par f est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui sont image par f d'au moins un élément de A :

f(A) = \{f(x) / x \in A\},
ou f(A) = \{y \in Y / \exists a \in A, y=f(a)\}.

Si A=X, alors f(X) est appelée l'image de f.

On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie de X, avec l'image par f d'un élément x de X.

Considérons l'application f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}, définie par

1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d

L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} et l'image de f est {a,c,d}.


Quelques conséquences immédiates de la définition:

f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2)
f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2)

l'inclusion dans l'autre sens est fausse en général

\forall A_1 \subset X, \forall A_2 \subset X, f\left(A_1 \cap A_2\right) = f(A_1) \cap f(A_2) \Leftrightarrow f\ {\rm injective} .
\forall B \subset Y, f(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}.
\forall A \subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}.
f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i)
f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i)

Voir aussi Image réciproque


This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License Page HistoryOriginal ArticleWikipedia