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Inégalité de Cauchy-Schwarz

L' inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée l' inégalité de Schwarz, ou encore l' inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, est une inégalité utile et qui se rencontre dans de nombreux domaines, tels qu'en algèbre linéaire en parlant des vecteurs, en analyse en parlant des séries et en intégration avec les intégrales de produits. L'inégalité s'écrit pour tous x et y éléments d'un espace préhilbertien réel ou complexe :

$|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

Les deux côtés sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Une conséquence importante de l'inégalité de Cauchy-Schwarz est que le produit scalaire est une fonction continue.

Formulée dans l'espace euclidien $\mathbb R ^n$ , nous obtenons

$\left ( \sum_{i=1}^n x_{i}y_{i} \right)^{2} \le \sum_{i=1}^n x_{i}^{2} \cdot \sum_{i=1}^n y_{i}^{2}$

Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré intégrable, nous obtenons

$\left|\int \overline{f}. g \textrm{d}x\right|^2 \leq \left( \int |f|^2\textrm{d}x\right). \left( \int |g|^2 \textrm{d}x\right)$

Ces deux dernières formulations sont généralisées par l' inégalité de Hölder.

Catégories: Algèbre linéaire | Analyse

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