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Inégalité de Hölder

En analyse, l' inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces L^p: soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de L^p(S) et g dans L^q(S). Alors fg appartient à L¹(S) et

En considérant S comme l'ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement, nous obtenons un cas particulier de l'inégalité :

valable pour tous réels (ou nombres complexes) x₁,...,x_n, y₁,...,y_n.

En considérant S comme l'ensemble des entiers naturels avec la mesure de dénombrement, nous obtenons une inégalité similaire pour les séries.

Pour p = q = 2, nous obtenons l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

L'inégalité de Hölder est utilisée pour démontrer l' inégalité du triangle dans l'espace L^p, parfois appelée inégalité de Minkowski et aussi pour établir que L^p est le dual de L^q.

Note: pour certains, l'espace ici noté est noté pour ne pas le confondre avec l'espace des fonctions dont la puissance p-ième est intégrable (qui présente des similitudes avec celui évoqué dans cet article).