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Inéquation


Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique
Probabilité
Statistique


Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver les valeurs de ces inconnues qui rendent vraie l'inégalité.

Il faut évident que le symbole < ou ≤ ait un sens. Il est donc nécessaire, en mathématiques élémentaires, que les inconnues appartiennent à l'ensemble des réels R ou à une partie de R. En particulier, il est impossible de travailler dans l'ensemble des complexes C.

Exemples:

Règles opératoires

La résolution des inéquations va demander la connaissance de quelques règles opératoires s'apparentant à celles déjà évoquées pour la résolution des équations mais avec de subtiles et fondamentales différences :

1. Transitivité de l'inégalité
si a < b et b < c alors a < c (propriétés valables pour deux inégalités de même nature : deux inégalités « < », ou deux inégalités « > » ou deux inégalités « ≤ » ou deux inégalités « ≥ »
2. On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b alors a + c < b + c
3. On peut soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b alors a - c < b - c
4. On peut multiplier par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b et si c > 0 alors ac < bc
si on multiplie par un nombre négatif, l'inégalité change de sens
si a < b et « " »si c < 0 alors ac > bc
5. On peut diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b et si c > 0 alors a/c < b/c
si on divise par une nombre négatif, l'inégalité change de sens
si a < b et « " »si c < 0 alors ac > bc


A ces quelques règles, on ajoutera les quatre règles suivantes :

si a < b et a' < b' alors a + a' < b + b'
mais on ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même nature (car une soustraction est une addition de l'opposé et que la prise de l'opposé change le sens de l'inégalité).
si 0 < a < b et 0 < a' < b' alors aa' < bb'
si a < b alors -a > -b
si 0 < a < b alors 1/a > 1/b
si a < b < 0 alors 1/a > 1/b

Résolution d'inéquations particulières

Voir aussi



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