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Injection

Une fonction f: X → Y est dite injective ou est une injection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y il existe au plus un élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. De manière équivalente, pour tous x et x' dans X, si f(x) = f(x'), alors x = x'.

Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle , alors une fonction injective a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en au plus un point.

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances. Il y correspond l'application d'un certain ensemble de touristes sur un certain nombre de chambres d'hôtel :

• Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chaque touriste ait une chambre individuelle.
• L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée.
• Ces desiderata n'ont rien d'incompatible, et l'application sera dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, et qu'en d'autres termes chaque touriste a sa chambre et chaque chambre son touriste.

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est injective, puisque pour tous nombres réels arbitraires x et x', si 2x + 1 = 2x' + 1, alors 2x = 2x', soit x = x'.

D'un autre côté, la fonction définie par g(x) = x² n'est pas injective, parce que (par exemple) g(1) = 1 = g(−1).

D'autre part, si nous définissons la fonction par la même relation que g, mais avec l'ensemble de définition restreint à l'ensemble des réels positifs, alors la fonction h est injective. Une explication est que, pour des réels positifs arbitraires donnés x et x', si x² = x'², alors |x| = |x'|, ainsi x = x'.

Propriétés

• Une fonction f: X → Y est injective si et seulement si X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g: Y → X telle que g ^o f  soit égale à l'application identique sur X.
• Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.
• Si g ^o f est injective, alors f est injective.
• Si f et g sont toutes les deux injectives, alors g ^o f est injective.
• f: X → Y est injective si et seulement si, pour toutes fonctions données g,h: W → X, lorsque f ^o g = f ^o h, alors g = h. En d'autres termes, les fonctions injectives sont précisément les monomorphismes de la catégorie des ensembles.
• Si f: X → Y est injective et A est un sous-ensemble de X, alors f ⁻¹(f(A)) = A. Ainsi, A peut être retrouvé à partir de l'image réciproque de f(A).
• Si f: X → Y est injective et A et B sont des sous-ensembles de X, alors f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
• Toute fonction h: W → Y peut être décomposée comme h = f ^o g pour une injection f et une surjection g convenables. Cette décomposition est unique à un isomorphisme près, et f peut être considérée comme la fonction inclusion de l'image de h, h(W) dans un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée Y de h.
• Si f : X → Y est une fonction injective, alors Y a au moins autant d'éléments que X, au sens des cardinaux.

Voir aussi: Surjection, Bijection