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Un logarithme invite une exponentielle à une soirée dansante. La soirée bat son plein, le logarithme s'éclate comme un fou alors que
l'exponentielle reste seule, dans son coin. |
En mathématiques, l'intégrale d'une fonction est la valeur de l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction. Dans le cas des fonctions positives, la notion d'aire est celle habituelle.
Pour les fonctions qui prennent des valeurs négatives (gardant un signe constant par intervalles), une définition d'aire algébrique rend possible une aire négative.
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a,b] à valeurs réelles. Pour simplifier, supposons que cette fonction soit positive (à valeurs positivies ou nulles).
L'ensemble 
est une région du plan comprise entre la courbe représentative de
f et l'axe des abscisses x'Ox. La mesure de l'« aire » de S cherchée, notée 
, est l'intégrale de a à b de f. Pour avoir
plus de détails voir les pages intégrale de Riemann et
intégrale de Lebesgue. Si une fonction est
intégrable au sens de Riemann, alors elle est intégrable au sens de Lebesgue, et les deux valeurs coïncident.
Il est possible de définir une intégrale par la notion de primitive d'une fonction. La primitivation est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f. En admettant que toute fonction continue sur un intervalle [a, b], admet des primitives, l'intégrale de a à b est égale à F(b)-F(a) et ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. Cette approche est motivée en analyse, et est la méthode principale utilisée pour le calcul d'aire sous une courbe comme on l'a décrit au paragraphe précédent.
Les fonctions qui admettent des primitives sont aussi intégrables au sens de Riemann (et aussi au sens de Lebesgue).
Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral affirme que les deux approches de l'intégrale («aire sous une courbe» et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes.
Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe, est le même pour les deux approches de l'intégration, au sens de Riemann et au sens de Lebesgue.
D'abord, on considère une famille de fonctions élémentaires, pour lesquelles nous avons un moyen évident de mesurer l'aire sous la courbe. Dans le cas de l'intégrale de Riemann, ce sont les fonctions en escalier dont l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires des rectangles ; le domaine sous la courbe d'une telle fonction peut alors être vu comme une réunion de rectangles. Pour l'intégrale de Lebesgue, les fonctions élémentaires sont appelées fonctions étagées, et les rectangles sont remplacés par des objets plus sophistiqués.
On essaie alors d'imposer la monotonie. Si 0⩽f⩽g (ainsi Sf est un sous-ensemble de Sg) alors nous devons avoir ∫f⩽∫g. Avec l'exigence de monotonie, pour une fonction positive arbitraire f, il est possible d'approcher son aire en utilisant soigneusement une fonction élémentaire s (dans le cas de l'intégration de Riemann, une fonction en escalier, et dans le cas de l'intégration de Lebesgue, une fonction étagée). Nous choisissons s telle que s⩽f mais en supposant s très proche de f. L'aire sous s est majorée par l'intégrale de f, et est appelée somme inférieure.
Dans le cas de l'intégrale de Riemann, nous fabriquons aussi des sommes supérieures de la même façon: nous choisissons une fonction en escalier, disons s, telle que s⩾f en supposant s très proche de f, et nous considérons une somme supérieure comme un majorant de l'aire du domaine sous f. La théorie de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures.
Enfin, par un passage à la limite pour rendre les fonctions élémentaires aussi proche de f que l'on veut, on obtient une intégrale pour certaines fonctions f.
Les fonctions que nous pouvons intégrer sont appelées fonctions intégrables.
Cependant, les différences commencent ici ; la théorie de Riemann est de loin la plus simple, mais de cette simplicité résulte que l'ensemble des fonctions intégrables est plus restreint que celui de la théorie de Lebesgue. En plus, l'interaction entre les limites et l'intégrale sont plus difficiles à décrire dans la théorie de Riemann.
