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Intégration par parties


En mathématiques, l'intégration par parties est une règle qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où f et g sont deux fonctions continues et a et b deux scalaires de leur intervalle de définition.

\int_{a}^{b} f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \,dx

Exemple

Effectuons le calcul de :

\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\cos (x) \,dx

grâce à une intégration par parties. Pour cela, posons :

, de telle sorte que ,
, de telle sorte que , par exemple.

Alors il vient :

\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\cos (x) \,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f'(x) g(x) \,dx
= \left[x\sin (x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (x) \,dx
= \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \left[\cos (x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}
= \frac{\pi \sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}

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