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La conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz, aussi connue sous le nom de conjecture du 3n+1, de
conjecture d'Ulam ou de suite de
Hailstone, fut pour la
première fois énoncée en 1937 et concerne le processus suivant (appelé processus de
Collatz) :
Par exemple, en commençant avec n = 6, nous obtenons la suite (6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1). La conjecture de Collatz dit que ce processus s'arrête toujours, indépendamment de la valeur de départ.
La conjecture a été vérifiée par un ordinateur pour toutes les valeurs initiales inférieures à 3 × 253 (environ 2,702 × 1016), mais aucune démonstration de la conjecture n'a été trouvée. Paul Erdös dit à propos de la conjecture de Collatz : « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ». Il proposa une offre de 500 $ à quiconque lui donnerait une solution.
Il existe des arguments heuristiques et statistiques qui renforcent la conjecture : si nous considérons uniquement les nombres impairs de la suite générée par le processus de Collatz, alors nous pouvons arguer qu'en moyenne le prochain nombre impair vaudra environ 3/4 du précédent, ce qui suggère qu'ils diminueront pour atteindre 1.
