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Lemme de Zorn

Le lemme de Zorn, appelé aussi lemme de Kuratowski-Zorn, est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme :

Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal.

Equivalence avec l'axiome du choix

Le lemme de zorn est en fait équivalent à l'axiome du choix : « Etant donné une famille d'ensembles, il existe une fonction qui à chacun d'eux associe un de ses éléments ». En effet, dans un ensemble inductif (i.e. dont toute partie totalement ordonnée admet un majorant), il n'existe pas de suite strictement croissante. L'axiome du choix permet d'affirmer qu'une suite croissante existe, ce qui donne le lemme de Zorn.

Utilisations du lemme de Zorn

À l'instar de l'axiome du choix, ce lemme est controversé, particulièrement dans des démonstrations faisant intervenir des familles ou des dimensions infinies. Cependant, il est utilisé en algèbre linéaire dans la démonstration de l'existence d'un supplémentaire d'un sous espace vectoriel en dimension infinie.

Discussion

Le lemme de Zorn permet de démontrer facilement des propriétés sur les ensembles. Cependant, il se montre insuffisamment convaincant dans certains cas, par exemple pour démontrer la propriété de la borne supérieure dans , où l'on doit faire appel à des outils plus solides.

Voir aussi

Cette discussion sur les axiomes est généralisée par le théorème de d'incomplétude de Gödel.