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Lemme des bergers

Le lemme des bergers est une propriété utilisée en mathématiques, notamment en analyse combinatoire.

Il peut s'énoncer au niveau élémentaire par :

• Si un ensemble E possède une partition en p sous-ensembles contenant chacun r éléments, alors E contient pr éléments.

Par exemple, un jeu de bridge possède une partition en quatre couleurs comportant chacune treize cartes, le nombre total de cartes est donc égal à cinquante-deux.

On utilise fréquemment ce lemme dans l'autre sens :

• Si on connait le nombre d'éléments de E, et si E admet une partition en p sous-ensembles à r élements (un des nombres p et r étant connu mais pas l'autre), on en déduit celui des nombres p et r qu'on ne connaissait pas.

L'étymologie du surnom de cette propriété vient de la forme imagée de la réciproque : Quand les bergers veulent compter leurs moutons, ils comptent les pattes et divisent par quatre.'

Une version plus abstraite du théorème s'énonce comme suit :

• Étant donnés deux ensembles finis, X et Y, et une application surjective f : X → Y telle que tout élément de Y ait exactement n antécédents dans X, alors on a  Card(X) = n*Card(Y)