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Lentille optique

Sommaire

1 Optique géométrique

1.1 Lentilles minces

1.1.1 Construction géométrique
1.1.2 Foyers secondaires
1.1.3 Formules
1.1.4 Vergence

1.2 Lentilles épaisses
1.3 Voir aussi

Optique géométrique

Une lentille, en optique, est un solide en forme de disque de matière transparente qui a une forme étudiée pour que la lumière issue d'un point A objet et après avoir subi la réfraction sur les deux faces (dioptres) du disque converge (ou semble provenir) d'un même point A' appelé l'image de A.

La forme du disque est l'intersection de deux sphères pour les lentilles à bord mince (lentilles convergentes) ou le volume situé entre deux sphères proches pour les lentilles à bord épais (lentilles divergentes). Il existe aussi des lentilles dont une des faces est plane.

Lorsque l'on respecte les conditions de Gauss, c'est-à-dire lorsque les rayons qui frappent la lentille frappent à proximité du centre optique de la lentille et que leur direction est proche de l'axe optique, alors la construction des rayons se fait de manière particulièrement simple en considérant les foyers de la lentille.

Lentilles minces

On appelle lentilles minces les lentilles dont la longueur focale est très importante en comparaison du diamètre de la lentille. On peut alors considérer (par approximation)que les deux dioptres qui la constituent sont confondus S₁ = S₂ = S.

On distingue six types de lentiles, réparties en deux familles :

les lentilles convergentes : une faisceau parallèle traversant une telle lentille converge en un point unique situé dans le plan focal image :
- lentille biconvexe : les deux dioptres sont sphériques, les centre des sphères sont situés chacun d'un côté du plan de la lentille ;
- lentille plan-convexe : un des dioptres est sphérique, l'autre est plan ;
- ménisque convergent : les deux dioptres sont sphériques, les centre des sphères sont situés du même côté du plan de la lentille ;
les lentilles divergentes : une faisceau parallèle traversant une telle lentille diverge, comme s'il venait d'un point unique situé dans le plan focal image :
- lentille biconcave : les deux dioptres sont sphériques, les centre des sphères sont situés chacun d'un côté du plan de la lentille ;
- lentille plan-concave : un des dioptres est sphérique, l'autre est plan ;
- ménisque divergent : les deux dioptres sont sphériques, les centre des sphères sont situés du même côté du plan de la lentille.

Construction géométrique

Dans le cas d'une lentille convergente ou divergente :

le rayon passant par le centre optique n'est pas dévié ;
le rayon parallèle à l'axe avant la lentille est dévié et le rayon sortant passe par le foyer image ;
le rayon passant par le foyer objet avant la lentille est dévié et ressort parallèle à l'axe.

Si le milieu est le même de chaque côté de la lentille, alors le foyer image et le foyer objet sont symétriques par rapport au centre optique. Si ce milieu est de l'air, alors la distance algébrique entre le centre optique et le foyer image est appelé distance focale.

Pour une lentille convergente, la distance focale est positive, le foyer image se trouve après la lentille (dans le sens de propagation de la lumière), le foyer objet se trouve avant.

Pour une lentille divergente, la distance focale est négative, le foyer image se trouve avant la lentille (dans le sens de propagation de la lumière), le foyer objet se trouve après. Dans ce cas, les rayons utilisés pour la construction géométrique ne passent donc pas physiquement par les foyers, c'est leur prolongation de l'autre côté de la lentille qui passe par les foyers.

Voici une construction chiffrée illustrant les formules données ci-après.

Foyers secondaires

Les lentilles possèdent une autre propriété remarquable qui peut permettre la détermination géométrique de la déviation des rayons :

tous les rayons parallèles entre eux avant la lentille passent par un même point du plan focal image après avoir été déviés par la lentille ; ce point, appelé foyer secondaire image, est l'intersection du rayon passant par le centre optique (donc non dévié) avec le plan focal objet ;
tous les rayons qui passent par un même point du plan focal objet avant la lentille ressortent parallèles entre eux après avoir été déviés par la lentille ; ce point, appelé foyer secondaire objet, est l'intersection du rayon passant par le centre optique (donc non dévié) avec le plan focal objet.

Les foyers objets et image sont donc des cas particuliers, ceux pour lesquels la direction est parallèle à l'axe optique. Ces foyers secondaires permettent la détermination de la déviation d'un rayon quelconque à partir d'un rayon parallèle passant par le centre optique

Formules

Le milieu de chaque côté de la lentille n'est pas forcément le même ; par exemple dans le cas d'un appareil de photographie sous-marine, il y a de l'air côté pellicule et de l'eau côté objet. On a donc trois milieux : le milieu 1 (avant la lentille dans le sens de propagation des rayons), le milieu 2 (verre de la lentille) et le milieu 3, chacun ayant son indice de réfraction n_i.

On passe du mileu 1 à 2 puis du milieu 2 à 3 par les formules suivantes des dioptres, où l'origine est prise au centre de la lentille et les positions sont prises algébriquement :

c₁ est l'abscisse de centre de la sphère formant le premier dioptre (compté positif pour la lentille convergente et négativement pour la lentille divergente) ;
c₂ est l'abscisse de centre de la sphère formant le deuxième dioptre (compté négatif pour la lentille convergente et positivement pour la lentille divergente) ;

$\frac{n_1}{a_1} - \frac{n_2}{a_2}=\frac{n_1-n_2}{c_1}$

et au deuxième dioptre

$\frac{n_2}{a_2} - \frac{n_3}{a_3}=\frac{n_2-n_3}{c_2}$

En additionnant ces deux formules :

$\frac{n_1}{a_1}- \frac{n_3}{a_3}=\frac{n_1-n_2}{c_1}+\frac{n_2-n_3}{c_2}$

on obtient la formule des lentilles.

Si les milieux 1 et 3 sont de l'air, d'indice 1 (approxmativement), la formule se simplifie :

$\frac{1}{a_1}- \frac{1}{a_3}=\frac{1-n}{c_1}+\frac{n-1}{c_2}=\frac{1}{f}$

où

a₁ et a₃ sont les abscisses de l'objet et de l'image après passage des deux dioptres qui constituent la lentille mince,
f est l'abscisse du foyer objet et
f′ = - f est l'abscisse du foyer image.

On trouve aussi comme notation dans les pays anglo-saxons :

f_o l'abscisse du foyer objet,
f_i= - f_o est l'abscisse du foyer image,

Si x_o et x_i sont les abscisses de l'objet et de l'image, alors

$\frac{1}{x_o}- \frac{1}{x_i}=\frac{1-n}{c_1}+\frac{n-1}{c_2}=\frac{1}{f_o}=\frac{-1}{f_i}$

c'est la formule dite de Descartes, qui avec deux lignes d'algèbre s'écrit :

$(x_i - f_i)= \frac {f_i \times f_o}{(x_o-f_o)}$

formule dite de Newton

On a

$x_i = \frac {f_i \times f_o}{(x_o-f_o)} + f_i$

et donc

$x_i = \frac {f_i \times x_o}{(x_o-f_o)}$ et de même: $y_i = \frac {-f_o \times y_o}{(x_o-f_o)}$

Vergence

L'inverse de la distance focale qui intervient dans certaines formules, 1/f, est appelée vergence et est notée δ. Elle s'exprime en dioptries, qui sont des m^-1. La puissance de verres correcteurs est fréquemment exprimée en dioptries.

Lentilles épaisses

On appelle lentilles épaisses les lentilles dont la distance focale est du même ordre de grandeur que le diamètre de la lentille.

Une lentille est caractérisée par la forme de ces deux dioptres et par l'indice de réfraction du matériau qui la compose.

Voir aussi

Catégories: Optique | Astronomie | Photographie

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