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Fraction

Le mot fraction a la même origine que fracture. Il s'agit de « casser » un objet et d'en prendre un petit morceau.

• Le terme de fraction possède diverses acceptions dans la langue courante :
  • une fraction d'un groupe, une fraction de seconde ...
  • la fraction du pain est, dans la liturgie chrétienne, l'instant situé au début de la communion rappelant le geste de Jésus-Christ rompant le pain pour le donner à ses disciples.

• C'est cependant en mathématiques qu'il joue son rôle principal.
  • Alors que les Français utilisent volontiers les chiffres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent souvent exprimer les parties non entières par des fractions — sans doute en raison de la différence culturelle système métrique - système impérial. Par exemple, ils diront d'une personne qu'elle mesure 5 pieds ⅔ et non pas 5,67 pieds.

Définition naïve

Une fraction de nombre désigne de manière naïve un nombre divisé en parts égales.

Par exemple, la fraction désigne le quotient de 56 par 8. Elle est égale 7 car 7×8=56. La division est ainsi l’opération réciproque de la multiplication.

• Voir aussi Fraction (mathématiques élémentaires)

Définition abstraite

Si (A,+,.) est un anneau commutatif unitaire intègre, on peut définir sur A × A*

• une addition : (a ; b) + (a' ; b') = (ab' + ba' ; bb')
• une multiplication : (a ; b) × (a' ; b') = (aa' ; bb')
• une relation d'équivalence compatible avec les deux lois précédentes : (a ; b) ∼ (a' ; b') si et seulement si ab' = ba'

Alors, l'ensemble F des classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence est appelé ensemble des fractions de A. Muni de l'addition et de la multiplication précédente, il forme un corps commutatif. Nous confondrons dorénavant pour plus de lisibilité un représentant d’une classe d’équivalence avec cette classe. On a donc :

• (0 ; a) ∼ (0 ; b) car a×0 = 0×b
• (a ; b) + (0 ; x) = (ax ; bx) = (a ; b) puisque ax×b=bx×a et donc (0 ; x) est l’élément neutre de l’addition
• (a ; b) − (a' ; b') = (ab' − ba' ; bb') et en particulier (0 ; x) − (a ; b) = (0×b − x×a ; x×b) = (−x×a ; x×b) = (−a ; b)
• (a ; b) × (1 ; 1) = (a ; b) donc (1 ; 1) est l’élément neutre pour la multiplication
• (a ; b) × (b ; a) = (ab ; ba) = (1 ; 1) donc la fraction (b ; a) est l’inverse de (a ; b) (à condition bien sûr que a≠0)
• (a ; 1) + (a' ; 1) = (a+a' ; 1) et (a ; 1) × (a' ; 1) = (aa' ; 1), on peut confondre l’ensemble des classes de fractions équivalentes à celles de de dénominateur égal à 1 à l’ensemble des nombres réels

Autres fractions

• fraction irréductible : fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
• fraction égyptienne : fraction dont le numérateur est égal à 1
• fraction décimale : fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
• fraction composée : fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux-même des fractions :
• fraction continue : fraction constituée à partir d'une suite d'entiers naturels de la manière suivante
• fraction rationnelle : fraction constituée à partir de l'anneau des polynômes à coefficients dans R