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Logarithme intégral

En mathématiques, le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠ 1 par l'intégrale :

${\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \;.$

Ici, ln désigne le logarithme naturel. La fonction $t\mapsto 1/ln (t)$ n'est pas définie en t = 1, et l'intégrale pour x> 1 doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy :

${\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \right) \;.$

Le comportement de croissance de cette fonction pour x → ∞ est

${\rm li} (x) = O \left( {x\over \ln (x)} \right) \;.$

(Voir notation grand O).

Le logarithme intégral est important parce qu'il intervient dans les estimations de densité des nombres premiers, plus particulièrement dans le théorème des nombres premiers :

on a

π(x) ~ Li(x)

où π est une fonction multiplicative; π(x) est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x,

et Li est la fonction d'écart logarithmique intégrale, relativement à li définie par

Li(x) = li (x) - li(2).

L'écart logarithmique intégral donne une légèrement meilleure estimation de π que la fonction li. La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation

pour tout nombre réel strictement positif x ≠ 1, li(x) = Ei (ln (x)).

Ceci mène aux développements en séries de li (x), par exemple:

${\rm pour} \; u \ne 0 \;,\quad {\rm li} (e^{u}) = \gamma + \ln \left| (u) \right| + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!},$

où γ ≈ 0.57721 56649 01532... est la constante d'Euler-Mascheroni.

La fonction li a un seul zéro strictement positif; il se trouve en x ≈ 1.45136 92348...; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

Catégories: Fonction remarquable

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