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Logique (mathématiques élémentaires)

La logique élémentaire ou algèbre de Boole est sans doute dans les mathématiques élémentaires l'outil le plus communément utilisé tacitement. En effet, toute démonstration utilise sans y faire allusion les principes de la logique.

La logique sert à définir si une relation est vraie ou fausse.

Principes de base

Soit P une proposition.
On dit que P est vraie ou fausse.

Soit P une propriété à un état. Alors non P est à l'état opposé.

On peut ainsi établir une table de vérité :

P non P non non P
V F V
F V F

Et ceci montre que P = non non P.

Maintenant, et c'est ce qu'il y a de plus intéressant, concentrons-nous sur les relations :

Prenons les deux relations basiques : "et" et "ou" (il faut que P soit vrai et que Q soit vrai, ou respectivement, que P soit vrai ou Q soit vrai, pour que la relation soit vraie). On dit que R=P.Q=(P et Q) est vraie si tous deux sont vrais à la fois. On dit que R=P+Q=(P ou Q) est vraie si l'un ou l'autre est vrai.

On établit alors la table de vérité :

P Q P et Q P ou Q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F

Soit P et Q deux propositions. Soit R la relation => (il suffit que)

P Q R= P=>Q
V V V
V F F
F V V
F F V

Ceci est la définition de la relation implication.

De même, pour la relation (il faut que)

P Q R= P<=Q
V V V
V F V
F V F
F F V

Enfin, pour que R: <=> soit vrai (équivalence), il faut que => et <= soient vraies :

P Q P<=Q P=>Q P<=>Q
V V V V V
V F V F F
F V F V F
F F V V V

L'analyse de telles tables nous permet de montrer que, par exemple, dans une démonstration, pour que P<=>Q, il faut et il suffit que P=>Q ET non P => non Q.

En effet :

P Q nonP nonQ P=>Q nonP=>nonQ P=>Q et nonP=>nonQ P<=>Q
V V F F V V V V
V F F V F V F F
F V V F V F F F
F F V V V V V V

On vient là de démontrer que la réciproque d'un théorème pouvait se montrer en partant de l'inverse des hypothèses pour arriver à l'inverse de la conclusion.

De la même façon, il est aisé de montrer avec ces tables de vérité que P=>Q est équivalent à nonP ou Q. On laissera le lecteur faire le tableau afin de s'en convaincre.

La logique est donc à la base des mathématiques, et leur permet de faire toutes les démonstrations nécessaires pour les théorèmes les plus simples comme les plus complexes.

Résultats importants

Notons que les lignes suivantes sont "vraies". Il s'agit de relations vraies quelles que soient P et Q deux propositions.

non non P = P
( P=>Q ) <=> (non Q => non P)
( P=>Q ) <=> (Q ou (non P))

Exemples