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Une loi binomiale de paramètre n et p correspond au modèle suivant:
On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = 1 - p). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.
L'univers X(Ω) est l'ensemble des entiers naturels de 0 à n.
La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par
Le symbole 
correspond à un nombre de
combinaisons et se calcule à partir de la fonction factorielle (voir Combinaison)
Cette loi de probabilité s'appelle la loi binomiale de paramètre (n ; p) et se note B(n ; p)
| Sommaire |
Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}.
n épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ωn constitué de n-uplets d'éléments de Ω sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S,S,...,S,E,E,...E) avec k succès et n - k échecs a donc pour valeur pkqn-k.
Plus généralement, tout n-uplet formé de k S et de n-k E aura pour probabilité pkqn-k quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.
L'événement « X = k » est formé de tous les n-uplets comportant k S et n - k E. La combinatoire permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de
parties à k éléments dans un ensemble à n éléments, chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n
places du n-uplet. Il y a donc 
n-uplets, chacun
ayant une probabilité de pkqn-k.
Donc P(X = k) = 
X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli (prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec) d'espérance p et de variance pq.
Pour des grandes valeurs de n, le calcul de devient vite pratiquement impossible, sauf si l'on cherche à calculer le logarithme de cette expression au
lieu de l'expression elle-même (et à condition d'utiliser l'approximation des factorielles par la formule de Stirling).
Si n tend vers l'infini et si p tend vers 0 avec np = a, la loi binomiale converge vers une loi de Poisson de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n >30 et np < 5.
Si n tend vers l'infini et si p et q sont de même ordre de grandeur, la loi binomiale converge vers un loi normale d'espérance np et de variance npq. En pratique, on remplace une loi binomiale par une loi normale dès que n > 30, np > 5 et nq > 5
La loi binomiale, son espérance et sa variance ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permettent de démontrer une version simple de la loi des grands nombres.
