Page d'accueil encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées

Loi de composition interne

En algèbre, on nomme loi de composition interne sur un ensemble une opération qui prend deux éléments de l'ensemble pour donner un résultat dans ce même ensemble. Ainsi, l'addition ou la multiplication sont des lois de composition interne, des opérations qui portent sur deux nombres et dont le résultat est un nombre (il faudrait bien préciser ce qu'on entend par nombre, il y a en mathématiques plusieurs ensembles de nombre usuels). Pour que l'opération soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu'elle ait un sens quel que soit les deux éléments de l'ensemble qu'on peut choisir (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi, la division n'est pas une loi de composition interne, parce qu'on ne peut pas diviser par zéro : n'a pas de sens. La soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l'ensemble de nombres qu'on considère : s'il s'agit des nombres usuels, dit entiers naturels, 0, 1, 2, 3,\dots alors ce n'est pas une loi de composition interne, puisque par exemple, n'est pas un de ces nombres usuels. Si au contraire, on choisit l'ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les négatifs -1, -2, -3,\dots alors, la soustraction est bien une loi de composition interne.

L'algèbre est la branche des mathématiques qui s'intéresse ensembles et aux opérations qu'on peut y faire. Elle recherche des conséquences générales qui découlent des propriétés de ces opérations, indépendamment de la nature précise des ensembles et des opérations. Parmi les opérations étudiées, les lois de compositions internes occupent une place privilégiée.

Sommaire

Exemple

Sur l'ensemble des entiers relatifs, l'addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l'article :

Ces quatre propriétés, existence d'un élément neutre, d'un inverse, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d'autres ensembles et d'autres lois. Par exemple, on peut étudier l'ensemble des translations (les déplacements : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l'addition :

L'ensemble des entiers relatifs avec l'addition, et l'ensemble translations avec la composition ont ces propriétés simples en communs. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s'appelle en algèbre un groupe abélien. L'algèbre s'attache ensuite à rechercher d'autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatres premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l'ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d'un groupe abélien, sans qu'il soit nécessaire de le redémontrer pour chacun.

Définition formelle

On appelle loi de composition interne sur un ensemble toute application \top de E \times E dans .

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble non vide :

Propriétés

Exemple: l'addition comme vu plus haut et la multiplication des entiers vérifient les deux.

Éléments particuliers

Exemples: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l'addition, absorbant pour le produit, et neutre à droite pour la soustraction.

Inversibilité

Lorsqu'une loi de composition interne dispose d'un élément neutre, notons le , on peut définir les notions suivantes:

Exemples:



This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License Page HistoryOriginal ArticleWikipedia