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Loi de composition interne

En algèbre, on nomme loi de composition interne sur un ensemble une opération qui prend deux éléments de l'ensemble pour donner un résultat dans ce même ensemble. Ainsi, l'addition ou la multiplication sont des lois de composition interne, des opérations qui portent sur deux nombres et dont le résultat est un nombre (il faudrait bien préciser ce qu'on entend par nombre, il y a en mathématiques plusieurs ensembles de nombre usuels). Pour que l'opération soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu'elle ait un sens quel que soit les deux éléments de l'ensemble qu'on peut choisir (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi, la division n'est pas une loi de composition interne, parce qu'on ne peut pas diviser par zéro : n'a pas de sens. La soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l'ensemble de nombres qu'on considère : s'il s'agit des nombres usuels, dit entiers naturels, alors ce n'est pas une loi de composition interne, puisque par exemple, n'est pas un de ces nombres usuels. Si au contraire, on choisit l'ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les négatifs alors, la soustraction est bien une loi de composition interne.

L'algèbre est la branche des mathématiques qui s'intéresse ensembles et aux opérations qu'on peut y faire. Elle recherche des conséquences générales qui découlent des propriétés de ces opérations, indépendamment de la nature précise des ensembles et des opérations. Parmi les opérations étudiées, les lois de compositions internes occupent une place privilégiée.

Exemple

Sur l'ensemble des entiers relatifs, l'addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l'article :

• il existe un élement particulier, zéro, qu'on appelle élément neutre, tel que l'ajouter ne change rien : ,  ;
• pour tout nombre, il existe un autre nombre, son opposé (le terme général est inverse), tel qu'on peut l'ajouter au premier pour trouver retrouver l'élément neutre, zéro. C'est tout simplement le même nombre dont on a changé le signe. Ainsi  ;
• on peut échanger les deux éléments autour du signe  : . On dit que l'opération est commutative ;
• on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux : peut se calculer en faisant calculant d'abord puis en ajoutant au résultat, ou en calculant d'abord avant de calculer . On note . On dit que l'opération est associative.

Ces quatre propriétés, existence d'un élément neutre, d'un inverse, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d'autres ensembles et d'autres lois. Par exemple, on peut étudier l'ensemble des translations (les déplacements : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l'addition :

• le neutre est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
• l'inverse d'une translation consiste à faire le même déplacement dans l'autre sens (3 mètres à droite et 2 mètres vers le bas pour l'exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c'est comme si on faisait le déplacement nul ;
• on peut faire les déplacements dans l'ordre qu'on veut, on retrouve la commutativité et l'associativité.

L'ensemble des entiers relatifs avec l'addition, et l'ensemble translations avec la composition ont ces propriétés simples en communs. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s'appelle en algèbre un groupe abélien. L'algèbre s'attache ensuite à rechercher d'autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatres premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l'ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d'un groupe abélien, sans qu'il soit nécessaire de le redémontrer pour chacun.

Définition formelle

On appelle loi de composition interne sur un ensemble toute application de dans .

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble non vide :

• les applications constantes : où est un élément de  ;
• le terme de gauche :  ;
• le terme de droite : .

Propriétés

• une loi est dite associative si pour , on a: ;
• une loi est dite commutative si pour , on a: ;

Exemple: l'addition comme vu plus haut et la multiplication des entiers vérifient les deux.

• Une loi peut être distributive par rapport à une autre loi : la multiplication l'est par rapport à l'addition, c'est la propriété ;
• une loi est dite alternative si pour tous , on a et . C'est une condition moins forte que l'associativité.
• une loi est dite associative des puissances si pour , on a . C'est une condition moins forte que l'alternativité.

Éléments particuliers

• est dit élément neutre à gauche lorsque: ;
• est dit élément neutre à droite lorsque: ;
• est dit élément neutre lorsqu'il est neutre à droite et à gauche;
• est dit élément absorbant à gauche lorsque: ;
• est dit élément absorbant à droite lorsque: ;
• est dit élément absorbant lorsqu'il est absorbant à droite et à gauche;
• est dit élément régulier à gauche lorsque tel que alors ;
• est dit élément régulier à droite lorsque tel que alors ;
• est dit élément régulier lorsqu'il est régulier à droite et à gauche; en place de régulier le terme simplifiable est aussi utilisé. On peut aussi noter que si est régulier à gauche (resp. à droite), c-a-d régulier à gauche (resp. droite) pour tout élément de , alors est injective (resp. surjective).

Exemples: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l'addition, absorbant pour le produit, et neutre à droite pour la soustraction.

Inversibilité

Lorsqu'une loi de composition interne dispose d'un élément neutre, notons le , on peut définir les notions suivantes:

• est dit inversible à gauche lorsqu'il existe un élément (alors unique) tel que ;
• est dit inversible à droite lorsqu'il existe un élément (alors unique) tel que ;
• un élément inversible à gauche et à droite est dit inversible; et ses inverses à gauche et à droite sont égaux (il a donc un inverse).

Exemples:

• 2 n'est pas inversible pour l'addition dans les entiers naturels;
• 2 est inversible, d'inverse -2, pour l'addition dans les entiers relatifs;
• 2 n'est pas inversible pour le produit dans les entiers relatifs;
• 2 est inversible, d'inverse , pour le produit dans les rationnels.