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La loi de Poisson de paramètre λ ou loi des événements rares correspond au modèle suivant:
Sur une période T, un événement arrive en moyenne λ fois (λ inférieur à 5). On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ...
Cette variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par
où e est la base de l'exponentielle (2,718...)C'est la loi de Poisson de paramètre λ
| Sommaire |
Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale de paramètres (T; λ/T). Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.
Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0; T] les fonctions = probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes.
L'espérance d'une loi de Poisson est par construction λ
La variance d'une loi de Poisson est λ.
Son écart type est donc 
Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événement rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislas Bortkiewicz).
Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, la description de la désintégration radioactive, la biologie, la météorologie, ...
Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.
Le diagramme en bâtons de la loi de Poisson de paramètre 5 commence à ressembler à une discrétisation d'une loi normale d'espérance 5 et de variance 5. C'est la raison pour laquelle, pour λ > 5, on travaille plutôt sur un modèle de loi normale.
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ alors X+Y est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ + μ.
