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Loi de probabilité

Une loi de probabilité a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d'apparition des résultats d'un phénomène aléatoire. Dans le dernier quart du XX^e siècle, on a largement étendu le concept à des domaines où il n'était plus question de fréquences, mais de représentation d'états de connaissance.

Les lois de probabilité sont utilisées en probabilité, et par extension en statistiques, qui sont des branches des mathématiques.

On associe naturellement une loi de probabilité à une variable aléatoire pour décrire la répartition des valeurs qu'elle peut prendre.

Parmi l'ensemble des lois de probabilités possibles, on distingue un certain nombre de familles usuelles qui correspondent à des phénomènes aléatoires simples : lancer de dés, jeu de pile ou face, erreurs de mesures, etc. Combinées entre elles, elles permettent d'élaborer des modélisations de phénomènes aléatoires plus complexes.

Sommaire

1 Exemples de lois discrètes

1.1 Loi binomiale
1.2 Loi hypergéométrique
1.3 Loi de Poisson
1.4 Loi géométrique

2 Exemples de lois continues

2.1 Loi uniforme
2.2 Loi normale
2.3 Loi exponentielle

3 Histoire

4 Maximum d'entropie

5 Définition mathématique

6 Voir aussi

Exemples de lois discrètes

Les résultats de la variable aléatoire X sont discrets, on peut définir leur probabilité

P(X = n)

Loi binomiale

$P(X = k)=\mathrm{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ pour tout k de 0 à n, p étant un réel compris entre 0 et 1
E(X) = np
V(X) = np(1-p)

voir loi binomiale

Loi hypergéométrique

$P(X = k) = \frac{\mathrm{C}_{pA}^k\mathrm{C}_{(1-p)A}^{n-k}}{\mathrm{C}_A^n}$ où A est un entier, pAet n des entiers inférieurs à A
E(X) = np
$V(X) = np(1-p)\frac{A-n}{A - 1}$

voir loi hypergéométrique

Loi de Poisson

$P(X = n) = \frac{\lambda ^ n}{n!} \exp (-\lambda)\qquad n \in \mathbb{N},\ \lambda \in \mathbb{R}_+^*$
E(X) = λ
Var(X) = λ

voir loi de Poisson

Loi géométrique

où p est un réel compris entre 0 et 1 et n un entier non nul.
$E(X) = \frac{1}{p}$
$V(X) = \frac{1-p}{p^2}$

voir loi géométrique

Exemples de lois continues

Les résultats de la variable aléatoire X sont continus, on peut définir la densité de probabilité f_X(x), on a alors

$P(a < X < b) = \int_a^b f(x) \cdot dx$

Loi uniforme

Loi uniforme continue sur un intervalle [ab] :

$f_X (x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a}\ \mathrm{si}\ x \in [ab] \\ 0\ \mathrm{sinon} \end{matrix}\right.$
$E(X) = \frac{a+b}{2}$
$\mathrm{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

Loi normale

$f_X (x) = \left ( 2 \pi \sigma_X^2 \right )^{-1/2} \cdot \exp \left ( - \frac{(x-m_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right )$
E(X) = m_X
Var(X) = σ_X²

voir loi normale

Loi exponentielle

$f_X (x) = \left\{\begin{matrix} \lambda.\exp(-\lambda x)\ \mathrm{si}\ x \geq 0 \\ 0\ \mathrm{sinon} \end{matrix}\right.$
$E(X) = \frac{1}{\lambda}$
$V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

voir loi exponentielle

Histoire

L'allure générale des lois de probabilité usuelles fut au début observée empiriquement, puis on en formalisa la définition dans le cadre de la théorie des probabilités en mathématiques.

Maximum d'entropie

Les lois de probabilité usuelles sont souvent classées par familles dépendant d'un paramètre. La loi normale par exemple est paramétrée par sa moyenne et son écart type. La plupart des familles usuelles de lois de probabilités sont celles offrant le maximum d'entropie (au sens de Claude Shannon, donc le moins d'information) sous contraintes :

La distribution normale par exemple est celle d'entropie maximale parmi toutes les lois possibles ayant même moyenne et même écart type.
La distribution exponentielle est celle d'entropie maximale parmi celles ayant la même moyenne
Les lois scalantes comme celle de Zipf ou de Mandelbrot sont d'entropie maximale parmi celle auxquelles on impose la valeur du logarithme d'une moyenne, c'est-à-dire un ordre de grandeur.

En quelque sorte, ces lois ne contiennent pas plus d'information que ce qui est obligatoire. Ce sont les moins prévenues de toutes les lois compatibles avec les observations ou les contraintes, et donc les seules admissibles objectivement comme distributions de probabilités a priori lorsque ces valeurs sont imposées et seules connues. Cette propriété joue un grand rôle dans les méthodes bayésiennes.

Définition mathématique

En théorie des probabilités, une loi de probabilité est une mesure positive sur un espace mesuré de masse finie égale à 1. Lorsque le support de cette mesure est $\mathbb{N}$ , on parle de loi discrète, tandis que lorsque la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$ , on parle de loi continue.

Voir aussi

Variable aléatoire

Catégories: Probabilités

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