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Loi de Stefan-Boltzmann

La loi de Stefan-Boltzmann (également loi de Stefan), émise en 1879, établi que l'énergie totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir par unité de temps (irradiance du corps noir), (ou la densité de flux d'énergie (flux radiant) ou la puissance dissipée par rayonnement), j^*est proportionelle à la quatrième puissance de la température thermodynamique T:

$j^{\star} = \sigma T^{4}$

La constante de proportionnalité, non-fondamentale, est appelée la constante de Stefan-Boltzmann (ou la constante de Stefan) σ. Sa valeur est : 5.670 400(40) × 10^-8 J s^-1 m^-2 K^-4.

Ainsi, à 100 K la densité de flux d'énergie est 5.67 W/m² ; à 1000 K 56.7 kW/m², etc.

Cette loi a été decouverte expérimentalement par Jožef Stefan (1835-1893) en 1879, et ses fondations théoriques ont été posées dans le cadre de la thermodynamique par Ludwig Boltzmann (1844-1906), en 1884. Boltzmann, qui était l'un des étudiants de Stefan, utilisa un four idéal avec la lumière comme matière première, plutôt que du gaz. Cette loi est la seule loi physique qui porte le nom d'un physicien slovène. Aujourd'hui, nous pouvons déduire cette loi de la loi de Planck sur le rayonnement du corps noir :

$j^{\star} = \int_{0}^{\infty} \left( {dj^{\star}\over d\lambda} \right) d\lambda$

mais qui n'est valide que pour des objects idéalement noir, des radiateurs parfaits, appelés corps-noirs. Stefan publia cette loi le 20 mars dans l'article (allemand)Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Sur les relations entre radiation thermique et température) dans le Bulletins from the sessions de l'Académie des Sciences de Vienne.

Température du Soleil

Grâce à cette loi, Stefan détermina également la température de la surface du Soleil. Il apprit, des données de Charles Soret (1854–1904), que la densité de flux d'énergie du Soleil est 29 fois plus grande que celle d'une lamelle de métal chauffée. Une lamelle circulaire fut placée devant un appareillage de mesure, à une distance telle qu'elle apparaissait sous le même angle que le Soleil. Soret estima la température de la lamelle à approximativement 1900 °C à 2000 °C. Stefan surmised que 1/3 du flux d'énergie du Soleil est absorbée par l'atmosphere terrestre, ainsi il prit pour valeur correcte du flux d'énergie du Soleil une valeur 3/2 fois plus grande, donc 29 × 3/2 = 43,5. La mesure précise de l'absorption atmosphérique n'a pas été réalisée avant 1888 et 1904. La temperature obtenue par Stefan était la moyenne des mesures, soit 1950 °C et la température absolue 2200 K. Comme 2,57⁴ = 43,5, il résulte de la loi que la température du Soleil est 2,57 fois plus grande que la température d'une lamelle, ainsi Stefan obtint une valeur de 5430 °C soit 5700 K (la valeur est actuellement de 5780 K). Ce fut la première estimation sérieuse de la température du Soleil. Auparavent, des valeurs variant de 1800 °C à 13 000 000 °C, approximativement, était indiquées. La première valeur de 1800 °C fut déterminée par Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838 grâce à la loi de Dulong-Petit. Pouilett prit juste la moitié de la valeur correcte du flux d'énergie du Soleil. Peut-être ce résultat inspira-t-il à Stefan que la loi de Dulong-Petit n'était plus valide à hautes températures. Si nous concentrons la lumière du Soleil à l'aide d'une lentille, nous pouvons chauffer un corps à une température supérieure à 1800 °C.

La loi de Stefan-Boltzmann est un exemple de loi de puissance.

Exemples

Avec la loi de Stefan-Boltzmann, les astronomes peuvent aisément calculer les rayons des étoiles. La loi est également respectée dans la thermodynamique des trous noirs dans l'ainsi nommée radiation de Hawking.

De manière similaire, nous pouvons calculer la température de la Terre T_T en écrivant l'énergie reçue du Soleil, et l'énergie émise par la Terre :

$T_T = T_S \sqrt{r_S\over 2 a_0 } \; = 5780 \times \sqrt{696 \times 10^{6}\over 2 \times 149,59787066 \times 10^{9} } = 278,7755970 \; {\rm K} \;,$

où T_S est la température du Soleil, r_S le rayon du Soleil et a₀ l'unité astronomique et nous avons 6 °C.

En résumé : la surface du Soleil est 21 fois plus chaude que celle de la Terre, et en cela il émet 190000 fois plus d'énergie par mètre carré. La distance du Soleil à la Terre est 215 fois le rayon du Soleil, diminuant l'énergie par mètre carré d'un facteur 46000. En tenant compte que la section d'une sphère est 1/4 de sa surface, nous voyons que l'équilibre est atteint (342 W par m² de surface, 1370 W par m² de section).

Ceci montre pourquoi T ~ 300 K est grossièrement la température de notre monde. La plus légère modification de la distance du Soleil ou des conditions atmosphériques peuvent ainsi change la température moyenne de la Terre.

Quelques physiciens ont critiqué Stefan pour avoir utilisé une méthode théorique incertaine afin de déterminer sa loi. Il est vrai qu'il fut aidé par quelques coïncidences heureuses, mais cela n'indique pas qu'il trouva la loi fortuitement.

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