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Loi exponentielle

Une loi exponentielle correspond au modèle suivant:

X est une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène. Si l'espérance de vie du phénomène est E(X) et si la durée de vie est sans vieillissement, c'est-à-dire si la durée de vie au-delà de l'instant T est indépendante de l'instant T, alors X a pour densité de probabilité:

si t < 0
$f(t) = \frac{1}{E(X)}\mathrm{e}^{-\frac{t}{E(X)}}$ pour tout t ≥ 0.

On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \frac{1}{E(X)}$

Sommaire

1 Calcul de p(X > t)

2 Espérance, variance, écart type, médiane

3 Champ d'application

4 Durée de vie minimale

5 Voir aussi

Calcul de p(X > t)

Si on appelle F(t) la probabilité que la durée de vie soit supérieure à t, le fait que la durée de vie soit sans vieillissement se traduit par l'égalité suivante:

$\frac{F(T+t)}{F(T)}=F(t)$

Cette équation est caractéristique des fonctions exponentielles et signifie que

La densité de probabilité est alors

pour tout t ≥ 0.

Le calcul de l'espérance de X, qui doit valoir E(X) conduit à l'équation:

$\int_0^{+\infty}-kt.\mathrm{e}^{kt}.dt=E(X)$

Equation qui se résout par intégration par parties et qui aboutit à $k =- \frac{1}{E(X)} = -\lambda$ .

Donc $p(X > t) = \mathrm{e}^{-\frac{t}{E(X)}}$

Espérance, variance, écart type, médiane

Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ

Nous savons, par construction, que l'espérance de X est $\frac{1}{\lambda}$

Par intégration par parties, le calcul de la variance donne $\frac{1}{\lambda^2}$

L'écart type est donc $\frac{1}{\lambda}$

La médiane, c'est-à-dire le temps T tel que p(X>T) = 0,5, est $\frac{\ln(2)}{\lambda}=E(x)\ln(2)$ .

Ci-contre est représentée la densité d'une durée de vie d'espérance 10 de loi exponentielle ainsi que sa médiane.

Champ d'application

Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité (Rutherford et Soddy). Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration.

La durée de vie moyenne $\frac{1}{\lambda}$ s'appelle le temps caractéristique.

La loi des grands nombres permet de dire que la concentration d'atomes radioactifs va suivre la même loi. La médiane $\frac{\ln(2)}{\lambda}$ correspond au temps T nécessaire pour que la population passe à 50% de sa population initiale et s'appelle la demi-vie ou période.

On modélise aussi fréquemment la durée de vie d'un composant électronique par une loi exponentielle.

Durée de vie minimale

Si X et Y suivent deux lois exponentielles indépendantes de paramètres λ et μ, alors la variable aléatoire Z = inf(X;Y) suit une loi exponentielle de paramètre λ + μ.

Cette observation est très utile pour déterminer l'espérance de vie d'un système constitué de deux composants en série.

Voir aussi

Catégories: Probabilités

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