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Matrice antisymétrique

En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposé; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation:

^tA = -A

ou si elle est écrite avec des coefficients sous la forme A = (a_i,j):

pour tous i et j, a_i,j = - a_j,i

Par exemple, la matrice suivante est antisymétrique:

Toutes les entrées de la diagonale principale d'un matrice antisymétrique ont un zéro (lorsque nous ne sommes pas en caractéristique 2), et ainsi la trace d'une matrice antisymétrique est nulle.

(La diagonale principale n'est pas toujours nulle si le corps est de caractéristique 2; par exemple dans , la matrice

est antisymétrique car 1 = -1, et sa trace n'est pas nulle.)

Les matrices antisymétriques de type (n,n) forment un espace vectoriel de dimension (n² - n)/2. La base canonique est la famille de matrices qui comportent un à la ième ligne et jème colonne et moins un à la jème ligne et ième colonne.

Cet espace vectoriel est l'espace tangent au groupe orthogonal O(n). Dans ce sens, nous pouvons assimiler les matrices antisymétriques à des « rotations infinitésimales ».

En fait, les matrices antisymétriques de type (n, n) forment une algèbre de Lie utilisant le crochet de Lie

et c'est l'algèbre de Lie associée au groupe de Lie O(n).

Une matrice G orthogonale, a un déterminant égal à 1, i.e. est un élément de la composante connexe du groupe orthogonal où se trouve la matrice unité, si précisément il existe une matrice antisymétrique A telle que:

Voir aussi

• matrice symétrique