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Matrice Jacobienne

En analyse vectorielle, la Matrice Jacobienne est une matrice associée à une fonction vectorielle en un point donné. Son nom vient du mathématicien Charles Jacobi.

Sommaire

1 Matrice jacobienne

1.1 Propriétés

2 Déterminant jacobien

3 Exemple

4 Interprétation physique

4.1 Matrice Jacobienne
4.2 Jacobien

Matrice jacobienne

La matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction vectorielle.

Soit F une fonction d'un ouvert de Rⁿ à valeurs dans R^m. Une telle fonction est définie par ses m fonctions composantes à valeurs réelles, (y₁(x₁,...,x_n), ..., y_m(x₁,...,x_n)). Les dérivées partielles de ces fonctions en un point M, si elles existent, peuvent être rangées dans une matrice m fois n, appelée matrice jacobienne de F :

$\begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$

Cette matrice est notée

$J_F(M) \qquad \mbox{ou}\qquad \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}$

La i^e ligne de cette matrice est la transposée du vecteur gradient au point M de la fonction y_i pour i =1,...,m. La matrice jacobienne est également la matrice de la différentielle de la fonction.

Propriétés

La matrice jacobienne d'une composée de fonctions est le produit des matrices jacobiennes de ces fonctions : $J_{f \circ g}= J_f J_g$

La matrice jacobienne de la réciproque d'une fonction est l'inverse de la matrice jacobienne de cette fonction.

Déterminant jacobien

Si m = n, alors la matrice jacobienne de F est une matrice carrée. Nous pouvons alors calculer son déterminant, appelé le déterminant jacobien, ou jacobien.

Une fonction continue et dérivable F est inversible au voisinage de M si et seulement si son jacobien en M est non nul (théorème d'inversion locale).

On trouve également le jacobien lors de changements de variables dans les intégrales multiples.

Exemple

Jacobien du passage en coordonnées polaires : $x=r\cos\theta\ ,\ y=r\sin\theta$

La matrice jacobienne au point est : $\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\ \end{pmatrix}$

Le jacobien du passage en coordonnées polaires est donc .

Interprétation physique

Matrice Jacobienne

Au voisinage du point M, la meilleure approximation affine de la fonction F est donnée par : $F(\mathbf{X}) \approx F(\mathbf{M}) + J_F(\mathbf{M})(\mathbf{X}-\mathbf{M})$

Jacobien

On se place ici dans R³. Si le jacobien est positif au point M, l'orientation de l'espace est conservée au voisinage de ce point. À l'inverse, l'orientation est inversée si le jacobien est négatif.

Si on considère un « petit » domaine, le volume de l'image de ce domaine par la fonction F sera celui du domaine de départ multiplié par la valeur absolue du jacobien.

Catégories: Analyse

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